Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $a$, gọi $I$ là trung điểm của $AB$, hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là trung điểm $H$ của $CI$, góc giữa $SA$ và mặt đáy bằng $45{}^\circ $. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $CI$ bằng
A. $\dfrac{a\sqrt{21}}{14}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{77}}{22}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{14}}{8}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
Ta có : $\left( \widehat{SA,\left( ABC \right)} \right)=\left( \widehat{SA,AH} \right)$
$=\widehat{SAH}=45{}^\circ $. Dựng hình bình hành $AIHE$.
$\Rightarrow d\left( SA,CI \right)=d\left( CI,\left( SAE \right) \right)=d\left( H,\left( SAE \right) \right)$. Do tam giác $ABC$ đều và $I$ là trung điểm của $AB$ nên $CI\bot AB$. Suy ra $AIHE$ là hình chữ nhật có $HE=AI=\dfrac{a}{2}$. Do đó : $\left\{ \begin{aligned}
& AE\bot SH \\
& AE\bot HE \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AE\bot \left( SHE \right)$.
$\Rightarrow AE\bot \left( SHE \right)\Rightarrow \left( SAE \right)\bot \left( SHE \right)$.
Trong mặt phẳng $\left( SHE \right)$, dựng $K$ là hình chiếu của $H$ trên đường thẳng $SE$ thì ta có $HK\bot \left( SAE \right)\Rightarrow d\left( H,\left( SAE \right) \right)=HK$. Tam giác $SAH$ vuông cân tại $S$.
$\Rightarrow SH=AH=\sqrt{A{{I}^{2}}+H{{I}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}}{4}+\dfrac{3{{a}^{2}}}{16}}=\dfrac{a\sqrt{7}}{4}$. Tam giác $SHE$ vuông tại $H$, có $HK$ là đường cao nên $HK=\dfrac{SH.HE}{\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{E}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{77}}{22}$. Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $CI$ bằng $\dfrac{a\sqrt{77}}{22}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{21}}{14}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{77}}{22}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{14}}{8}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
Ta có : $\left( \widehat{SA,\left( ABC \right)} \right)=\left( \widehat{SA,AH} \right)$
$=\widehat{SAH}=45{}^\circ $. Dựng hình bình hành $AIHE$.
$\Rightarrow d\left( SA,CI \right)=d\left( CI,\left( SAE \right) \right)=d\left( H,\left( SAE \right) \right)$. Do tam giác $ABC$ đều và $I$ là trung điểm của $AB$ nên $CI\bot AB$. Suy ra $AIHE$ là hình chữ nhật có $HE=AI=\dfrac{a}{2}$. Do đó : $\left\{ \begin{aligned}
& AE\bot SH \\
& AE\bot HE \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AE\bot \left( SHE \right)$.
$\Rightarrow AE\bot \left( SHE \right)\Rightarrow \left( SAE \right)\bot \left( SHE \right)$.
Trong mặt phẳng $\left( SHE \right)$, dựng $K$ là hình chiếu của $H$ trên đường thẳng $SE$ thì ta có $HK\bot \left( SAE \right)\Rightarrow d\left( H,\left( SAE \right) \right)=HK$. Tam giác $SAH$ vuông cân tại $S$.
$\Rightarrow SH=AH=\sqrt{A{{I}^{2}}+H{{I}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}}{4}+\dfrac{3{{a}^{2}}}{16}}=\dfrac{a\sqrt{7}}{4}$. Tam giác $SHE$ vuông tại $H$, có $HK$ là đường cao nên $HK=\dfrac{SH.HE}{\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{E}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{77}}{22}$. Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $CI$ bằng $\dfrac{a\sqrt{77}}{22}$.
Đáp án B.