Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 1. Mặt bên SBC là tam giác nhọn và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Các mặt phẳng $\left( SAB \right),\left( SAC \right)$ lần lượt tạo với đáy các góc ${{60}^{o}}$ và ${{30}^{o}}$. Gọi $\varphi $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SAC \right)$. Tính $\sin \varphi $.
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{8}\cdot $
B. $V=\dfrac{\sqrt{61}}{8}\cdot $
C. $\dfrac{3\sqrt{61}}{28}\cdot $
D. $\dfrac{\sqrt{235}}{28}\cdot $
Kẻ $SH\bot BC,HK\bot AB,HI\bot AC$.
Ta có: $\widehat{SKH}={{60}^{o}}$ $\Rightarrow HK=SH.\cot {{60}^{o}}=\dfrac{SH}{\sqrt{3}}$
$\widehat{SIH}={{30}^{o}}$ $\Rightarrow HI=SH.\cot {{30}^{0}}=SH.\sqrt{3}$
$\Rightarrow HI=3HK hay CH=3BH$
$\Rightarrow HK=BH\sin {{60}^{o}}=\dfrac{1}{4}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{8}$ và $SK=2HK=\dfrac{\sqrt{3}}{4}; SH=HK\sqrt{3}=\dfrac{3}{8}$
${{V}_{SABC}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3}{8}.\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{32}(dvtt)$
Xét $\Delta SHA:SH=\dfrac{3}{8};HA=\dfrac{\sqrt{13}}{4}$ nên $SA=\dfrac{\sqrt{61}}{8}$
Mặt khác, ${{V}_{SABC}}=\dfrac{2{{S}_{SAB}}.{{S}_{SAC}}.\sin \varphi }{3SA}$ nên thay vào ta tính được
$\sin \varphi =\dfrac{3.\dfrac{\sqrt{3}}{32}.\dfrac{\sqrt{61}}{8}}{2.\dfrac{1}{2}.\dfrac{\sqrt{3}}{4}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{61}}{8}$
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{8}\cdot $
B. $V=\dfrac{\sqrt{61}}{8}\cdot $
C. $\dfrac{3\sqrt{61}}{28}\cdot $
D. $\dfrac{\sqrt{235}}{28}\cdot $
Ta có: $\widehat{SKH}={{60}^{o}}$ $\Rightarrow HK=SH.\cot {{60}^{o}}=\dfrac{SH}{\sqrt{3}}$
$\widehat{SIH}={{30}^{o}}$ $\Rightarrow HI=SH.\cot {{30}^{0}}=SH.\sqrt{3}$
$\Rightarrow HI=3HK hay CH=3BH$
$\Rightarrow HK=BH\sin {{60}^{o}}=\dfrac{1}{4}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{8}$ và $SK=2HK=\dfrac{\sqrt{3}}{4}; SH=HK\sqrt{3}=\dfrac{3}{8}$
${{V}_{SABC}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3}{8}.\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{32}(dvtt)$
Xét $\Delta SHA:SH=\dfrac{3}{8};HA=\dfrac{\sqrt{13}}{4}$ nên $SA=\dfrac{\sqrt{61}}{8}$
Mặt khác, ${{V}_{SABC}}=\dfrac{2{{S}_{SAB}}.{{S}_{SAC}}.\sin \varphi }{3SA}$ nên thay vào ta tính được
$\sin \varphi =\dfrac{3.\dfrac{\sqrt{3}}{32}.\dfrac{\sqrt{61}}{8}}{2.\dfrac{1}{2}.\dfrac{\sqrt{3}}{4}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{61}}{8}$
Đáp án B.