Cho hình chớp $S . A B C$ có đáy là tam giác đều cạnh $a, S A$ vuông góc...

The Funny · 25/5/23

Câu hỏi: Cho hình chớp

S . A B C

có đáy là tam giác đều cạnh

a, S A

vuông góc mặt phẳng đáy,

S B = \sqrt{3} a

(tham khảo hình vẽ)

Khoảng cách từ trung điểm

M

của

S A

đến mặt phẳng

(S B C)

bằng
A.

\frac{\sqrt{66}}{33} a

.
B.

\frac{\sqrt{66}}{11} a

.
C.

\frac{\sqrt{66}}{22} a

.
D.

\frac{\sqrt{66}}{44} a

.

Ta có:

S A = \sqrt{S B^{2} - A B^{2}} = \sqrt{3 a^{2} - a^{2}} = a \sqrt{2}

;

A I = \frac{a \sqrt{3}}{2}

Gọi

I

là trung điểm của

B C

và

H

là hình chiếu của

A

lên

S I

{\begin{aligned} B C ⊥ A I \\ B C ⊥ S A \end{aligned} \Rightarrow B C ⊥ (S A I) \Rightarrow B C ⊥ A H

{\begin{aligned} A H ⊥ S I \\ A H ⊥ B C \end{aligned} \Rightarrow A H ⊥ (S B C)

Khoảng cách từ trung điểm

M

của

S A

đến mặt phẳng

(S B C)

là:

d (M, (S B C)) = \frac{1}{2} d (A, (S B C))

Ta có

\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A I^{2}} + \frac{1}{S A^{2}} = \frac{1}{{(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2}} + \frac{1}{{(a \sqrt{2})}^{2}} = \frac{11}{6 a^{2}}

\Rightarrow A H = \frac{a \sqrt{66}}{11}

d (M, (S B C)) = \frac{1}{2} d (A, (S B C)) = \frac{1}{2} . \frac{a \sqrt{66}}{11} = \frac{a \sqrt{66}}{22} .

Đáp án C.

Cho hình chớp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a,SA vuông góc...