Google
Câu hỏi: Cho hình chớp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $a,SA$ vuông góc mặt phẳng đáy, $SB=\sqrt{3}a$ (tham khảo hình vẽ)
Khoảng cách từ trung điểm $M$ của $SA$ đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{66}}{33}a$.
B. $\dfrac{\sqrt{66}}{11}a$.
C. $\dfrac{\sqrt{66}}{22}a$.
D. $\dfrac{\sqrt{66}}{44}a$.
Ta có: $SA=\sqrt{S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}$ ; $AI=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Gọi $I$ là trung điểm của $BC$ và $H$ là hình chiếu của $A$ lên $SI$
$\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AI \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAI \right)\Rightarrow BC\bot AH$
$\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot SI \\
& AH\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)$
Khoảng cách từ trung điểm $M$ của $SA$ đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$ là:
$d\left( M,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( A,\left( SBC \right) \right)$
Ta có $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{11}{6{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{66}}{11}$
$d\left( M,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( A,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{1}{2}.\dfrac{a\sqrt{66}}{11}=\dfrac{a\sqrt{66}}{22}.$
A. $\dfrac{\sqrt{66}}{33}a$.
B. $\dfrac{\sqrt{66}}{11}a$.
C. $\dfrac{\sqrt{66}}{22}a$.
D. $\dfrac{\sqrt{66}}{44}a$.
Gọi $I$ là trung điểm của $BC$ và $H$ là hình chiếu của $A$ lên $SI$
$\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AI \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAI \right)\Rightarrow BC\bot AH$
$\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot SI \\
& AH\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)$
Khoảng cách từ trung điểm $M$ của $SA$ đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$ là:
$d\left( M,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( A,\left( SBC \right) \right)$
Ta có $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{11}{6{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{66}}{11}$
$d\left( M,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( A,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{1}{2}.\dfrac{a\sqrt{66}}{11}=\dfrac{a\sqrt{66}}{22}.$
Đáp án C.