Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông tại $C$, $AB=2a$, $AC=a$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$. Biết góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SBC \right)$ bằng $60{}^\circ $. Tính thể tích của khối chóp $S.ABC$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$.
Trong $\Delta ABC$ kẻ $CH\bot AB$ $\Rightarrow CH\bot \left( SAB \right)$ $\Rightarrow CH\bot SB\left( 1 \right)$.
$BC=\sqrt{A{{B}^{2}}-A{{C}^{2}}}=a\sqrt{3}$,
$BH.BA=B{{C}^{2}}$,
$\Rightarrow BH=\dfrac{3a}{2}$, $CH=\sqrt{B{{C}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Trong $\Delta SAB$ kẻ $HK\bot SB$ $\Rightarrow CK\bot SB\left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ $\Rightarrow HK\bot SB$.
Góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SBC \right)$ là $\widehat{CKH}=60{}^\circ $.
Trong vuông $\Delta CKH$ có $HK=CH.\cot 60{}^\circ =\dfrac{a}{2}$, $BK=\sqrt{B{{H}^{2}}-H{{K}^{2}}}=a\sqrt{2}$.
$\Delta SAB\backsim \Delta HKB\left( g.g \right)$ nên $\dfrac{SA}{HK}=\dfrac{AB}{BK}=\dfrac{2a}{a\sqrt{2}}$ $\Rightarrow SA=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$
Thể tích hình chóp $S.ABC$ là $V=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta ABC}}$ $=\dfrac{1}{3}\dfrac{a}{\sqrt{2}}.\dfrac{1}{2}.a.\sqrt{3}.a=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$.
Trong $\Delta ABC$ kẻ $CH\bot AB$ $\Rightarrow CH\bot \left( SAB \right)$ $\Rightarrow CH\bot SB\left( 1 \right)$.
$BC=\sqrt{A{{B}^{2}}-A{{C}^{2}}}=a\sqrt{3}$,
$BH.BA=B{{C}^{2}}$,
$\Rightarrow BH=\dfrac{3a}{2}$, $CH=\sqrt{B{{C}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Trong $\Delta SAB$ kẻ $HK\bot SB$ $\Rightarrow CK\bot SB\left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ $\Rightarrow HK\bot SB$.
Góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SBC \right)$ là $\widehat{CKH}=60{}^\circ $.
Trong vuông $\Delta CKH$ có $HK=CH.\cot 60{}^\circ =\dfrac{a}{2}$, $BK=\sqrt{B{{H}^{2}}-H{{K}^{2}}}=a\sqrt{2}$.
$\Delta SAB\backsim \Delta HKB\left( g.g \right)$ nên $\dfrac{SA}{HK}=\dfrac{AB}{BK}=\dfrac{2a}{a\sqrt{2}}$ $\Rightarrow SA=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$
Thể tích hình chóp $S.ABC$ là $V=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta ABC}}$ $=\dfrac{1}{3}\dfrac{a}{\sqrt{2}}.\dfrac{1}{2}.a.\sqrt{3}.a=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}$.
Đáp án B.