Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông tại $C$, $AB=2a$, $AC=a$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$. Biết góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SBC \right)$ bằng $60{}^\circ $. Tính thể tích của khối chóp $S.ABC$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$.
Trong $\Delta ABC$ kẻ $CH\bot AB$.
Do $\left\{ \begin{aligned}
& CH\bot AB \\
& CH\bot SA \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow CH\bot \left( SAB \right) $ $ \Rightarrow CH\bot SB\left( 1 \right)$.
$BC=\sqrt{A{{B}^{2}}-A{{C}^{2}}}=a\sqrt{3}$.
$CH=\dfrac{CA.CB}{AB}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
$BH=\sqrt{B{{C}^{2}}-C{{H}^{2}}}=\dfrac{3}{2}a$.
Trong $\Delta SAB$ kẻ $HK\bot SB$ $\Rightarrow CK\bot SB\left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ suy ra góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SBC \right)$ là $\widehat{CKH}=60{}^\circ $.
Trong vuông $\Delta CKH$ có $HK=CH.\cot 60{}^\circ =\dfrac{a}{2}$.
$BK=\sqrt{B{{H}^{2}}-H{{K}^{2}}}=a\sqrt{2}$.
$\Delta SAB$ đồng dạng với $\Delta HKB$ nên $\dfrac{SA}{HK}=\dfrac{AB}{BK}=\dfrac{2a}{a\sqrt{2}}$ $\Rightarrow SA=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$
Thể tích hình chóp $S.ABC$ là $V=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta ABC}}$ $=\dfrac{1}{3}\dfrac{a}{\sqrt{2}}.\dfrac{1}{2}.a.\sqrt{3}.a=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$.
Trong $\Delta ABC$ kẻ $CH\bot AB$.
Do $\left\{ \begin{aligned}
& CH\bot AB \\
& CH\bot SA \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow CH\bot \left( SAB \right) $ $ \Rightarrow CH\bot SB\left( 1 \right)$.
$BC=\sqrt{A{{B}^{2}}-A{{C}^{2}}}=a\sqrt{3}$.
$CH=\dfrac{CA.CB}{AB}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
$BH=\sqrt{B{{C}^{2}}-C{{H}^{2}}}=\dfrac{3}{2}a$.
Trong $\Delta SAB$ kẻ $HK\bot SB$ $\Rightarrow CK\bot SB\left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ suy ra góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SBC \right)$ là $\widehat{CKH}=60{}^\circ $.
Trong vuông $\Delta CKH$ có $HK=CH.\cot 60{}^\circ =\dfrac{a}{2}$.
$BK=\sqrt{B{{H}^{2}}-H{{K}^{2}}}=a\sqrt{2}$.
$\Delta SAB$ đồng dạng với $\Delta HKB$ nên $\dfrac{SA}{HK}=\dfrac{AB}{BK}=\dfrac{2a}{a\sqrt{2}}$ $\Rightarrow SA=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$
Thể tích hình chóp $S.ABC$ là $V=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta ABC}}$ $=\dfrac{1}{3}\dfrac{a}{\sqrt{2}}.\dfrac{1}{2}.a.\sqrt{3}.a=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}$.
Đáp án B.