Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, biết $AB=a; SA=2a$ và $SA\bot \left( ABC \right)$. Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là:
A. $\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$
B. $\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
D. $\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AB \\
& BC\bot SA\left( SA\bot \left( ABC \right) \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot SB$
Mà $AC\bot SA\left( SA\bot \left( ABC \right) \right)$ nên hai điểm A, B cùng nhìn đoạn SC dưới 1 góc vuông.
Do đó các điểm S, A, B, C cùng nằm trên một mặt cầu có đường kính SC.
$\begin{aligned}
& + AC=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{2} \\
& + SC=\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}+{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}=a\sqrt{6} \\
\end{aligned}$
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là $R=\dfrac{SC}{2}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$
A. $\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$
B. $\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
D. $\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AB \\
& BC\bot SA\left( SA\bot \left( ABC \right) \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot SB$
Mà $AC\bot SA\left( SA\bot \left( ABC \right) \right)$ nên hai điểm A, B cùng nhìn đoạn SC dưới 1 góc vuông.
Do đó các điểm S, A, B, C cùng nằm trên một mặt cầu có đường kính SC.
$\begin{aligned}
& + AC=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{2} \\
& + SC=\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}+{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}=a\sqrt{6} \\
\end{aligned}$
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là $R=\dfrac{SC}{2}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$
Đáp án A.