Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác $ABC$ có $\widehat{BAC}=120{}^\circ ; BC=3a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, $SA=2a$. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ bằng
A. $12\pi {{a}^{2}}$.
B. $\dfrac{\pi {{a}^{2}}}{3}$.
C. $\dfrac{16\pi {{a}^{2}}}{3}$.
D. $16\pi {{a}^{2}}$.
Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC\Rightarrow \Delta IBC$ cân tại $I$ có $\widehat{ICB}={{30}^{0}}.$
Kẻ $IK\bot BC\Rightarrow K$ là trung điểm của $BC\Rightarrow KC=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{3a}{2}.$
Ta có: $\cos \widehat{ICB}=\dfrac{KC}{IC}\Rightarrow IC=\dfrac{KC}{\cos \widehat{ICB}}=\dfrac{3a}{2\cos {{30}^{0}}}=\dfrac{3a}{2}:\dfrac{\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}\Rightarrow IA=IC=a\sqrt{3}$
Qua $I$ kẻ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right),$ nó cắt đường mặt trung trực của $SA$ tại $O\Rightarrow O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ và $OA=OS.$
Gọi $H$ là trung điểm của $SA\Rightarrow $ Tứ giác $OHAI$ là hình chữ nhật $\Rightarrow OH=IA=a\sqrt{3}$
$\Delta OHA$ vuông tại $H\Rightarrow OA=\sqrt{O{{H}^{2}}+H{{A}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}}=2a$
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là $4\pi {{R}^{2}}=4\pi {{\left( 2a \right)}^{2}}=16\pi {{a}^{2}}.$
A. $12\pi {{a}^{2}}$.
B. $\dfrac{\pi {{a}^{2}}}{3}$.
C. $\dfrac{16\pi {{a}^{2}}}{3}$.
D. $16\pi {{a}^{2}}$.
Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC\Rightarrow \Delta IBC$ cân tại $I$ có $\widehat{ICB}={{30}^{0}}.$
Kẻ $IK\bot BC\Rightarrow K$ là trung điểm của $BC\Rightarrow KC=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{3a}{2}.$
Ta có: $\cos \widehat{ICB}=\dfrac{KC}{IC}\Rightarrow IC=\dfrac{KC}{\cos \widehat{ICB}}=\dfrac{3a}{2\cos {{30}^{0}}}=\dfrac{3a}{2}:\dfrac{\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}\Rightarrow IA=IC=a\sqrt{3}$
Qua $I$ kẻ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right),$ nó cắt đường mặt trung trực của $SA$ tại $O\Rightarrow O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ và $OA=OS.$
Gọi $H$ là trung điểm của $SA\Rightarrow $ Tứ giác $OHAI$ là hình chữ nhật $\Rightarrow OH=IA=a\sqrt{3}$
$\Delta OHA$ vuông tại $H\Rightarrow OA=\sqrt{O{{H}^{2}}+H{{A}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}}=2a$
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là $4\pi {{R}^{2}}=4\pi {{\left( 2a \right)}^{2}}=16\pi {{a}^{2}}.$
Đáp án D.