Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông với $AB=AC=2.$ Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA=3.$ Gọi $M$ là trung điểm của $SC.$
Tính khoảng cách giữa $AM$ và $BC$.
A. $d\left( AM;BC \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
B. $d\left( AM;BC \right)=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
C. $d\left( AM;BC \right)=\dfrac{3\sqrt{22}}{11}$
D. $d\left( AM;BC \right)=\dfrac{\sqrt{22}}{6}$
Tính khoảng cách giữa $AM$ và $BC$.
A. $d\left( AM;BC \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
B. $d\left( AM;BC \right)=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
C. $d\left( AM;BC \right)=\dfrac{3\sqrt{22}}{11}$
D. $d\left( AM;BC \right)=\dfrac{\sqrt{22}}{6}$
Phương pháp:
- Sử dụng: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ đường này đến mặt phẳng song song và chứa đường thẳng kia.
- Sử dụng $d\left( S;\left( AMN \right) \right)=\dfrac{3{{V}_{S.AMN}}}{{{S}_{\Delta AMN}}}.$
Cách giải:
Gọi $N$ là trung điểm của $BC$ ta có $MN//BC\Rightarrow BC//\left( AMN \right)\supset AM$
$\Rightarrow d\left( AM;BC \right)=d\left( BC;\left( AMN \right) \right)=d\left( C;\left( AMN \right) \right).$
Lại có $SC\cap \left( AMN \right)=M\Rightarrow \dfrac{d\left( C;\left( AMN \right) \right)}{d\left( S;\left( AMN \right) \right)}=\dfrac{CM}{SM}=1\Rightarrow d\left( C;\left( AMN \right) \right)=d\left( S;\left( AMN \right) \right)$
Ta có
$AM=\dfrac{1}{2}SC=\dfrac{1}{2}\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{3}^{2}}+{{2}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{13}}{2}$
$AN=\dfrac{1}{2}SB=\dfrac{1}{2}\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{3}^{2}}+{{2}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{13}}{2}$
$MN=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{2}.2\sqrt{2}=\sqrt{2}$
Gọi $p$ là nửa chu vi tam giác $AMN$ ta có $p=\dfrac{\dfrac{\sqrt{13}}{2}+\dfrac{\sqrt{13}}{2}+\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{13}+\sqrt{2}}{2}.$
$\Rightarrow {{S}_{\Delta AMN}}=\sqrt{p\left( p-AM \right)\left( p-AN \right)\left( p-MN \right)}=\dfrac{\sqrt{22}}{4}.$
$\dfrac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SM}{SC}.\dfrac{SN}{SB}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow {{V}_{S.AMN}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{S.ABC}},{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SA.\dfrac{1}{2}AB.AC=\dfrac{1}{6}.3.2.2=2.$
$\Rightarrow {{V}_{S.AMN}}=\dfrac{1}{4}.2=\dfrac{1}{2}.$
Vậy $d\left( AM;BC \right)=d\left( S;\left( AMN \right) \right)=\dfrac{3{{V}_{S.AMN}}}{{{S}_{\Delta AMN}}}=\dfrac{3.\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{22}}{4}}=\dfrac{3\sqrt{22}}{11}.$
- Sử dụng: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ đường này đến mặt phẳng song song và chứa đường thẳng kia.
- Sử dụng $d\left( S;\left( AMN \right) \right)=\dfrac{3{{V}_{S.AMN}}}{{{S}_{\Delta AMN}}}.$
Cách giải:
Gọi $N$ là trung điểm của $BC$ ta có $MN//BC\Rightarrow BC//\left( AMN \right)\supset AM$
$\Rightarrow d\left( AM;BC \right)=d\left( BC;\left( AMN \right) \right)=d\left( C;\left( AMN \right) \right).$
Lại có $SC\cap \left( AMN \right)=M\Rightarrow \dfrac{d\left( C;\left( AMN \right) \right)}{d\left( S;\left( AMN \right) \right)}=\dfrac{CM}{SM}=1\Rightarrow d\left( C;\left( AMN \right) \right)=d\left( S;\left( AMN \right) \right)$
Ta có
$AM=\dfrac{1}{2}SC=\dfrac{1}{2}\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{3}^{2}}+{{2}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{13}}{2}$
$AN=\dfrac{1}{2}SB=\dfrac{1}{2}\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{3}^{2}}+{{2}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{13}}{2}$
$MN=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{2}.2\sqrt{2}=\sqrt{2}$
Gọi $p$ là nửa chu vi tam giác $AMN$ ta có $p=\dfrac{\dfrac{\sqrt{13}}{2}+\dfrac{\sqrt{13}}{2}+\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{13}+\sqrt{2}}{2}.$
$\Rightarrow {{S}_{\Delta AMN}}=\sqrt{p\left( p-AM \right)\left( p-AN \right)\left( p-MN \right)}=\dfrac{\sqrt{22}}{4}.$
$\dfrac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SM}{SC}.\dfrac{SN}{SB}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow {{V}_{S.AMN}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{S.ABC}},{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SA.\dfrac{1}{2}AB.AC=\dfrac{1}{6}.3.2.2=2.$
$\Rightarrow {{V}_{S.AMN}}=\dfrac{1}{4}.2=\dfrac{1}{2}.$
Vậy $d\left( AM;BC \right)=d\left( S;\left( AMN \right) \right)=\dfrac{3{{V}_{S.AMN}}}{{{S}_{\Delta AMN}}}=\dfrac{3.\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{22}}{4}}=\dfrac{3\sqrt{22}}{11}.$
Đáp án C.