Google
Câu hỏi: Cho hình chóp ${S.ABC}$ có đáy ${ABC}$ là tam giác vuông tại ${A,AB=a,AC=a\sqrt{3},}$ tam giác ${SBC}$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng ${\left( SAC \right)}$ và ${\left( SBC \right).}$
A. ${\dfrac{1}{\sqrt{13}}.}$
B. ${\dfrac{2}{\sqrt{13}}.}$
C. ${\dfrac{3}{\sqrt{13}}.}$
D. ${\dfrac{3}{\sqrt{39}}.}$
H là trung điểm của BC thì SH vuông góc với đáy (ABC), khi đó M là trung điểm của SB thì SC vuông góc với BM. Trong mặt phẳng (SAC), kẻ MN vuông góc với SC tại M, SC vuông góc đồng thời với BM, MN nên góc giữa (SBC), (SAC) là $\widehat{BMN}$.
Ta có $BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=2a;$ $SH=a\sqrt{3};AH=BC:2$ $=a=SA=\sqrt{{}}S{{H}^{2}}+A{{H}^{2}}=2a.$
Tam giác SBC đều nên tam giác SAC cân tại S.
Tam giác SAC có $SM=a;co\widehat{ASC}=\dfrac{5}{8}\Rightarrow SN=SM:\cos \widehat{ASC}=\dfrac{8\text{a}}{5},MN=SM\tan \widehat{ASC}=\dfrac{a\sqrt{39}}{5}$
Tam giác SAB đều nên $B{{N}^{2}}=S{{B}^{2}}+S{{N}^{2}}2SB.SN\cos {{60}^{0}}=\dfrac{84{{\text{a}}^{2}}}{5}\Rightarrow BN\dfrac{2\sqrt{21\text{a}}}{5}$
Tam giác BMN có $\cos \widehat{BMN}=\dfrac{\left( B{{M}^{2}}.B{{N}^{2}} \right)-B{{N}^{2}}}{2BM.BN}=\dfrac{3}{\sqrt{13}}$
A. ${\dfrac{1}{\sqrt{13}}.}$
B. ${\dfrac{2}{\sqrt{13}}.}$
C. ${\dfrac{3}{\sqrt{13}}.}$
D. ${\dfrac{3}{\sqrt{39}}.}$
H là trung điểm của BC thì SH vuông góc với đáy (ABC), khi đó M là trung điểm của SB thì SC vuông góc với BM. Trong mặt phẳng (SAC), kẻ MN vuông góc với SC tại M, SC vuông góc đồng thời với BM, MN nên góc giữa (SBC), (SAC) là $\widehat{BMN}$.
Ta có $BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=2a;$ $SH=a\sqrt{3};AH=BC:2$ $=a=SA=\sqrt{{}}S{{H}^{2}}+A{{H}^{2}}=2a.$
Tam giác SBC đều nên tam giác SAC cân tại S.
Tam giác SAC có $SM=a;co\widehat{ASC}=\dfrac{5}{8}\Rightarrow SN=SM:\cos \widehat{ASC}=\dfrac{8\text{a}}{5},MN=SM\tan \widehat{ASC}=\dfrac{a\sqrt{39}}{5}$
Tam giác SAB đều nên $B{{N}^{2}}=S{{B}^{2}}+S{{N}^{2}}2SB.SN\cos {{60}^{0}}=\dfrac{84{{\text{a}}^{2}}}{5}\Rightarrow BN\dfrac{2\sqrt{21\text{a}}}{5}$
Tam giác BMN có $\cos \widehat{BMN}=\dfrac{\left( B{{M}^{2}}.B{{N}^{2}} \right)-B{{N}^{2}}}{2BM.BN}=\dfrac{3}{\sqrt{13}}$
Đáp án C.