Google
Câu hỏi: . Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại $B,AB=3a,BC=4a$. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc tạo bởi giữa SC và mặt phẳng đáy bằng ${{60}^{0}}$. Gọi M là trung điểm của AC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM bằng:
A. $a\sqrt{3}.$
B. $\dfrac{10a\sqrt{3}}{\sqrt{79}}.$
C. $5a\sqrt{3}.$
D. $\dfrac{5a}{2}.$
Gọi N là trung điểm của BC. Ta có: $d\left( AB;SM \right)=d\left( A;\left( SMN \right). \right)$
Dựng đường cao AK trong tam giác AMN, đường cao AH trong tam giác SAK.
Do $SA\bot \left( ABC \right)$ nên $SA\bot MN$. (1)
Theo cách dựng ta lại có $MN\bot AK.$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow MN\bot AH$ mà $AH\bot SA$ (theo cách dựng).
$\Rightarrow AH\bot \left( SMN \right)$ tại H nên $d\left( AB;SM \right)=d\left( A;\left( SMN \right) \right)=AH.$
Ta có: $AK=BN=\dfrac{BC}{2}=2a;AC=5a.$
Xét tam giác SAC có $SA=AC.\tan 60{}^\circ =5a\sqrt{3}.$
Xét tam giác SAK vuông tại A với đường cao AH có:
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{75{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}=\dfrac{79}{300{{a}^{2}}}\Rightarrow A{{H}^{2}}=\dfrac{300{{a}^{2}}}{79}\Rightarrow AH=\dfrac{10\sqrt{3}a}{\sqrt{79}}.$
A. $a\sqrt{3}.$
B. $\dfrac{10a\sqrt{3}}{\sqrt{79}}.$
C. $5a\sqrt{3}.$
D. $\dfrac{5a}{2}.$
Gọi N là trung điểm của BC. Ta có: $d\left( AB;SM \right)=d\left( A;\left( SMN \right). \right)$
Dựng đường cao AK trong tam giác AMN, đường cao AH trong tam giác SAK.
Do $SA\bot \left( ABC \right)$ nên $SA\bot MN$. (1)
Theo cách dựng ta lại có $MN\bot AK.$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow MN\bot AH$ mà $AH\bot SA$ (theo cách dựng).
$\Rightarrow AH\bot \left( SMN \right)$ tại H nên $d\left( AB;SM \right)=d\left( A;\left( SMN \right) \right)=AH.$
Ta có: $AK=BN=\dfrac{BC}{2}=2a;AC=5a.$
Xét tam giác SAC có $SA=AC.\tan 60{}^\circ =5a\sqrt{3}.$
Xét tam giác SAK vuông tại A với đường cao AH có:
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{75{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}=\dfrac{79}{300{{a}^{2}}}\Rightarrow A{{H}^{2}}=\dfrac{300{{a}^{2}}}{79}\Rightarrow AH=\dfrac{10\sqrt{3}a}{\sqrt{79}}.$
Đáp án B.