Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A,AB=AC=2a.$ Cạnh $SA=2a$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right).$ Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SI và AC bằng
A. $\dfrac{2a\sqrt{10}}{5}$
B. $\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$
C. $\dfrac{a\sqrt{10}}{5}$
D. $\dfrac{a\sqrt{5}}{5}$
Gọi E là trung điểm của cạnh AB
$\Rightarrow AC//IE\Rightarrow AC//\left( SEI \right)\Rightarrow d\left( AC;SI \right)=d\left( A;\left( SEI \right) \right)$
Từ $\left\{ \begin{aligned}
& AC//IE \\
& AC\bot AE \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow IE\bot AE$.
Kẻ $AP\bot SE\Rightarrow d\left( A;\left( SEI \right) \right)=AP\Rightarrow d\left( AC;SI \right)=AP$.
$\dfrac{1}{A{{P}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{E}^{2}}}=\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}\Rightarrow AP=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$.
A. $\dfrac{2a\sqrt{10}}{5}$
B. $\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$
C. $\dfrac{a\sqrt{10}}{5}$
D. $\dfrac{a\sqrt{5}}{5}$
Gọi E là trung điểm của cạnh AB
$\Rightarrow AC//IE\Rightarrow AC//\left( SEI \right)\Rightarrow d\left( AC;SI \right)=d\left( A;\left( SEI \right) \right)$
Từ $\left\{ \begin{aligned}
& AC//IE \\
& AC\bot AE \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow IE\bot AE$.
Kẻ $AP\bot SE\Rightarrow d\left( A;\left( SEI \right) \right)=AP\Rightarrow d\left( AC;SI \right)=AP$.
$\dfrac{1}{A{{P}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{E}^{2}}}=\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}\Rightarrow AP=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$.
Đáp án B.