Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại...

Gọi I là trung điểm của SA.
Tam giác SAB, SAC vuông tại $B,C\Rightarrow IS=IA=IB=IC\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC.
Gọi H là trung điểm của BC. Vì $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $A\Rightarrow H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC\Rightarrow IH\mathrm{\perp }\left(ABC\right)$.
Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC.
Theo đề bài ta có:
$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R^3={\displaystyle \frac{5\sqrt{5}\pi }{6}}\iff R^3={\displaystyle \frac{5\sqrt{5}}{8}}={\displaystyle \frac{\sqrt{125}}{8}}\\ & \iff R={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}\Rightarrow IS=IA=IB=IC={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}\end{array}$.
Xét tam giác vuông ABC có: $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=2\Rightarrow AH=1$.
Xét tam giác vuông IAH có: $IH=\sqrt{I{A}^2-A{H}^2}=\sqrt{{\displaystyle \frac{5}{4}}-1}={\displaystyle \frac{1}{2}}$.
$S_{\mathrm{\Delta }ABC}={\displaystyle \frac{1}{2}}.AB.AC={\displaystyle \frac{1}{2}}.1.\sqrt{3}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\Rightarrow V_{I.ABC}={\displaystyle \frac{1}{3}}.IH.S_{\mathrm{\Delta }ABC}={\displaystyle \frac{1}{3}}.{\displaystyle \frac{1}{2}}.{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$.
Ta có: $SI\cap \left(ABC\right)=A\Rightarrow {\displaystyle \frac{d(S;\left(ABC\right))}{d(I;\left(ABC\right))}}={\displaystyle \frac{SA}{IA}}=2\Rightarrow {\displaystyle \frac{V_{S.ABC}}{V_{S.IBC}}}=2\Rightarrow V_{S.ABC}=2V_{I.ABC}=2.{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{12}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}}$.
Xét tam giác vuông SAB có $IB={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}\Rightarrow SA=2IB=\sqrt{5}\Rightarrow SB=\sqrt{S{A}^2-A{B}^2}=2$.
$\Rightarrow S_{\mathrm{\Delta }SAB}={\displaystyle \frac{1}{2}}.1.2=1$.
Ta có: $V_{S.ABC}={\displaystyle \frac{1}{3}}d(C;\left(SAB\right)).S_{\mathrm{\Delta }SAB}\Rightarrow d(C;\left(SAB\right))={\displaystyle \frac{3V_{S.ABC}}{S_{\mathrm{\Delta }SAB}}}={\displaystyle \frac{3.{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}}}{1}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}.$