Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại $A,AB=1cm,AC=\sqrt{3}cm$. Tam giác SAB, SAC lần lượt vuông tại B và C. Khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có thể tích bằng $\dfrac{5\sqrt{5}\pi }{6}c{{m}^{3}}$. Tính khoảng cách từ C đến $\left( SAB \right)$.
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}cm.$
B. $\dfrac{\sqrt{5}}{2}cm.$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}cm.$
D. $\dfrac{\sqrt{5}}{4}cm.$
Gọi I là trung điểm của SA.
Tam giác SAB, SAC vuông tại $B,C\Rightarrow IS=IA=IB=IC\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC.
Gọi H là trung điểm của BC. Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A\Rightarrow H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC\Rightarrow IH\bot \left( ABC \right)$.
Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC.
Theo đề bài ta có:
$\begin{aligned}
& \dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{5\sqrt{5}\pi }{6}\Leftrightarrow {{R}^{3}}=\dfrac{5\sqrt{5}}{8}=\dfrac{\sqrt{125}}{8} \\
& \Leftrightarrow R=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\Rightarrow IS=IA=IB=IC=\dfrac{\sqrt{5}}{2} \\
\end{aligned}$.
Xét tam giác vuông ABC có: $BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=2\Rightarrow AH=1$.
Xét tam giác vuông IAH có: $IH=\sqrt{I{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{5}{4}-1}=\dfrac{1}{2}$.
${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}.AB.AC=\dfrac{1}{2}.1.\sqrt{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow {{V}_{I.ABC}}=\dfrac{1}{3}.IH.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Ta có: $SI\cap \left( ABC \right)=A\Rightarrow \dfrac{d\left( S;\left( ABC \right) \right)}{d\left( I;\left( ABC \right) \right)}=\dfrac{SA}{IA}=2\Rightarrow \dfrac{{{V}_{S.ABC}}}{{{V}_{S.IBC}}}=2\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=2{{V}_{I.ABC}}=2.\dfrac{\sqrt{3}}{12}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}$.
Xét tam giác vuông SAB có $IB=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\Rightarrow SA=2IB=\sqrt{5}\Rightarrow SB=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{B}^{2}}}=2$.
$\Rightarrow {{S}_{\Delta SAB}}=\dfrac{1}{2}.1.2=1$.
Ta có: ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}d\left( C;\left( SAB \right) \right).{{S}_{\Delta SAB}}\Rightarrow d\left( C;\left( SAB \right) \right)=\dfrac{3{{V}_{S.ABC}}}{{{S}_{\Delta SAB}}}=\dfrac{3.\dfrac{\sqrt{3}}{6}}{1}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}cm.$
B. $\dfrac{\sqrt{5}}{2}cm.$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}cm.$
D. $\dfrac{\sqrt{5}}{4}cm.$
Gọi I là trung điểm của SA.
Tam giác SAB, SAC vuông tại $B,C\Rightarrow IS=IA=IB=IC\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC.
Gọi H là trung điểm của BC. Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A\Rightarrow H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC\Rightarrow IH\bot \left( ABC \right)$.
Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC.
Theo đề bài ta có:
$\begin{aligned}
& \dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{5\sqrt{5}\pi }{6}\Leftrightarrow {{R}^{3}}=\dfrac{5\sqrt{5}}{8}=\dfrac{\sqrt{125}}{8} \\
& \Leftrightarrow R=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\Rightarrow IS=IA=IB=IC=\dfrac{\sqrt{5}}{2} \\
\end{aligned}$.
Xét tam giác vuông ABC có: $BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=2\Rightarrow AH=1$.
Xét tam giác vuông IAH có: $IH=\sqrt{I{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{5}{4}-1}=\dfrac{1}{2}$.
${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}.AB.AC=\dfrac{1}{2}.1.\sqrt{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow {{V}_{I.ABC}}=\dfrac{1}{3}.IH.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Ta có: $SI\cap \left( ABC \right)=A\Rightarrow \dfrac{d\left( S;\left( ABC \right) \right)}{d\left( I;\left( ABC \right) \right)}=\dfrac{SA}{IA}=2\Rightarrow \dfrac{{{V}_{S.ABC}}}{{{V}_{S.IBC}}}=2\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=2{{V}_{I.ABC}}=2.\dfrac{\sqrt{3}}{12}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}$.
Xét tam giác vuông SAB có $IB=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\Rightarrow SA=2IB=\sqrt{5}\Rightarrow SB=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{B}^{2}}}=2$.
$\Rightarrow {{S}_{\Delta SAB}}=\dfrac{1}{2}.1.2=1$.
Ta có: ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}d\left( C;\left( SAB \right) \right).{{S}_{\Delta SAB}}\Rightarrow d\left( C;\left( SAB \right) \right)=\dfrac{3{{V}_{S.ABC}}}{{{S}_{\Delta SAB}}}=\dfrac{3.\dfrac{\sqrt{3}}{6}}{1}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
Đáp án A.