Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $AB=a$, $BC=2a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=\sqrt{15}a$ (tham khảo hình bên).
Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng đáy bằng
A. $45{}^\circ $.
B. $30{}^\circ $.
C. $60{}^\circ $.
D. $90{}^\circ $.
Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng đáy bằng
A. $45{}^\circ $.
B. $30{}^\circ $.
C. $60{}^\circ $.
D. $90{}^\circ $.
Do $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy nên $AC$ là hình chiếu vuông góc của $SC$ lên mặt phẳng đáy. Từ đó suy ra: $\left( \widehat{SC ; \left( ABC \right)} \right)=\left( \widehat{SC ; AC} \right)=\widehat{SCA}$.
Trong tam giác $ABC$ vuông tại $B$ có: $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}=\sqrt{5}a$.
Trong tam giác $SAC$ vuông tại $A$ có: $\tan \widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{\sqrt{15}a}{\sqrt{5}a}=\sqrt{3}$ $\Rightarrow \widehat{SCA}=60{}^\circ $.
Vậy $\left( \widehat{SC ; \left( ABC \right)} \right)=60{}^\circ $.
Trong tam giác $ABC$ vuông tại $B$ có: $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}=\sqrt{5}a$.
Trong tam giác $SAC$ vuông tại $A$ có: $\tan \widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{\sqrt{15}a}{\sqrt{5}a}=\sqrt{3}$ $\Rightarrow \widehat{SCA}=60{}^\circ $.
Vậy $\left( \widehat{SC ; \left( ABC \right)} \right)=60{}^\circ $.
Đáp án C.