Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, với $AC=2a$, $BC=a$. Điểm $S$ cách đều các điểm $A,B,C$. Biết góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng ${{60}^{0}}$. Khoảng cách từ trung điểm $M$ của $BC$ đến mặt phẳng $\left( SAB \right)$ bằng:
A. $\dfrac{a\sqrt{39}}{13}$.
B. $\dfrac{3a\sqrt{13}}{13}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{39}}{26}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{13}}{26}$
Ta có $S$ cách đều các đỉnh $A,B,C$ nên đường cao của hình chóp là đường nối từ đỉnh đến tâm
đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$
Gọi $H$ là trung điểm của $AC$, ta có $SH\bot \left( ABC \right)$
$SB$ tạo với $\left( ABC \right)$ góc ${{60}^{0}}$ nên góc $SBH={{60}^{0}}$.
Mặt khác $MH//\left( SAB \right)$ nên $d\left( M,\left( SAB \right) \right)=d\left( H,\left( SAB \right) \right)=KH$ ( $I$ là trung điểm của $AB$ ; $K$ là hình chiếu của $H$ lên $SI$ )
Ta có $BH=\dfrac{1}{2}AC=a$ và $SH=BH.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{3}$ ; $HI=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{a}{2}$.
Khi đó $\dfrac{1}{K{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}\Rightarrow KH=\dfrac{a\sqrt{39}}{13}.$
A. $\dfrac{a\sqrt{39}}{13}$.
B. $\dfrac{3a\sqrt{13}}{13}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{39}}{26}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{13}}{26}$
Ta có $S$ cách đều các đỉnh $A,B,C$ nên đường cao của hình chóp là đường nối từ đỉnh đến tâm
đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$
Gọi $H$ là trung điểm của $AC$, ta có $SH\bot \left( ABC \right)$
$SB$ tạo với $\left( ABC \right)$ góc ${{60}^{0}}$ nên góc $SBH={{60}^{0}}$.
Mặt khác $MH//\left( SAB \right)$ nên $d\left( M,\left( SAB \right) \right)=d\left( H,\left( SAB \right) \right)=KH$ ( $I$ là trung điểm của $AB$ ; $K$ là hình chiếu của $H$ lên $SI$ )
Ta có $BH=\dfrac{1}{2}AC=a$ và $SH=BH.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{3}$ ; $HI=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{a}{2}$.
Khi đó $\dfrac{1}{K{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}\Rightarrow KH=\dfrac{a\sqrt{39}}{13}.$
Đáp án B.