Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ với $BC=a$. Biết $SA=a\sqrt{2}$ ; hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$ là trung điểm đoạn $AB$ và khoảng cách giữa hai đường thằng $AC$ và $SB$ bằng $\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$. Thể tích khối cầu ngọai tiếp hình chóp $S.ABC$ là
A. $\dfrac{5\sqrt{5}\pi {{a}^{3}}}{6}$.
B. $\dfrac{3\sqrt{5}\pi {{a}^{3}}}{8}$.
C. $\dfrac{3\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{2}$.
D. $\dfrac{3\sqrt{5}\pi {{a}^{3}}}{2}$.
Gọi $H$ là trung điểm của $AB\Rightarrow SH\bot AB.$ Gọi $N$ là trung điểm của $AC.$
Trong mặt phẳng $\left( ABC \right)$ kẻ $Bt//AC,HK\bot Bt,H\in Bt.$
Trong mặt phẳng $\left( HSK \right)$ kẻ $HL\bot SK,L\in SK.$
$\Rightarrow d\left( H,\left( S,Bt \right) \right)=HL=\dfrac{1}{2}d\left( A,\left( S,Bt \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( AC,SB \right)=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}.$
Đặt $AB=2x,\left( x>0 \right)$.
Ta có tam giác $SHA$ vuông tại $H\Rightarrow S{{H}^{2}}=S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}=2{{a}^{2}}-{{x}^{2}}.$
Tam giác $SHK$ vuông tại $H$
$\Rightarrow \dfrac{1}{H{{L}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}=\dfrac{4}{{{d}^{2}}\left( B,AC \right)}+\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}=4\left( \dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{C}^{2}}} \right)+\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{2{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}=\dfrac{2}{{{a}^{2}}}\Rightarrow x=a\Rightarrow SH=a.$
Do $SH=a=\dfrac{1}{2}AB\Rightarrow \Delta SAB$ vuông cân tại $S\Rightarrow HA=HB=HS=a.$
Ta có $HN\bot \left( SAB \right)\Rightarrow NA=NB=NS\left( 1 \right).$
Do tam giác $ABC$ vuông tại $B,$ $N$ là trung điểm của $AC\Rightarrow NA=NB=NC\left( 2 \right).$
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)\Rightarrow N$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC\Rightarrow R=NC=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}.$
Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{5\sqrt{5}{{a}^{3}}\pi }{6}$.
A. $\dfrac{5\sqrt{5}\pi {{a}^{3}}}{6}$.
B. $\dfrac{3\sqrt{5}\pi {{a}^{3}}}{8}$.
C. $\dfrac{3\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{2}$.
D. $\dfrac{3\sqrt{5}\pi {{a}^{3}}}{2}$.
Trong mặt phẳng $\left( ABC \right)$ kẻ $Bt//AC,HK\bot Bt,H\in Bt.$
Trong mặt phẳng $\left( HSK \right)$ kẻ $HL\bot SK,L\in SK.$
$\Rightarrow d\left( H,\left( S,Bt \right) \right)=HL=\dfrac{1}{2}d\left( A,\left( S,Bt \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( AC,SB \right)=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}.$
Đặt $AB=2x,\left( x>0 \right)$.
Ta có tam giác $SHA$ vuông tại $H\Rightarrow S{{H}^{2}}=S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}=2{{a}^{2}}-{{x}^{2}}.$
Tam giác $SHK$ vuông tại $H$
$\Rightarrow \dfrac{1}{H{{L}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}=\dfrac{4}{{{d}^{2}}\left( B,AC \right)}+\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}=4\left( \dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{C}^{2}}} \right)+\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{2{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}=\dfrac{2}{{{a}^{2}}}\Rightarrow x=a\Rightarrow SH=a.$
Do $SH=a=\dfrac{1}{2}AB\Rightarrow \Delta SAB$ vuông cân tại $S\Rightarrow HA=HB=HS=a.$
Ta có $HN\bot \left( SAB \right)\Rightarrow NA=NB=NS\left( 1 \right).$
Do tam giác $ABC$ vuông tại $B,$ $N$ là trung điểm của $AC\Rightarrow NA=NB=NC\left( 2 \right).$
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)\Rightarrow N$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC\Rightarrow R=NC=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}.$
Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{5\sqrt{5}{{a}^{3}}\pi }{6}$.
Đáp án A.