Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, $AB=3a, BC=4a$. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc tạo bởi giữa SC và mặt phẳng đáy bằng $60{}^\circ $. Gọi M là trung điểm của AC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM bằng
A. $a\sqrt{3}$
B. $\dfrac{10a\sqrt{3}}{\sqrt{79}}$
C. 2
D. $\dfrac{5a}{2}$
A. $a\sqrt{3}$
B. $\dfrac{10a\sqrt{3}}{\sqrt{79}}$
C. 2
D. $\dfrac{5a}{2}$
Gọi N là trung điểm $BC\Rightarrow AB\text{ // MN}\Rightarrow \text{AB // }\left( SMN \right)$
Do đó $d\left( AB;SM \right)=d\left( AB;\left( SMN \right) \right)=d\left( A;\left( SMN \right) \right)$
Kẻ hình chữ nhật $ABNE\Rightarrow AE\bot MN$ và $AE=BN=\dfrac{1}{2}BC=2a$
Ta có $MN\bot \left( SAE \right)$, kẻ $AK\bot SE \left( K\in SE \right)\Rightarrow AK\bot \left( SNE \right)$
Lại $\widehat{\left( SC;\left( ABC \right) \right)}=\widehat{\left( SC;AC \right)}=\widehat{SCA}=60{}^\circ \Rightarrow SA=\tan 60{}^\circ .5a=5\sqrt{3}a$
Tam giác SAE vuông tại A, có $\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{E}^{2}}}\Rightarrow AK=\dfrac{10a\sqrt{3}}{\sqrt{79}}$.
Vậy khoảng cách cần tìm là $d=\dfrac{10a\sqrt{3}}{\sqrt{79}}$.
Do đó $d\left( AB;SM \right)=d\left( AB;\left( SMN \right) \right)=d\left( A;\left( SMN \right) \right)$
Kẻ hình chữ nhật $ABNE\Rightarrow AE\bot MN$ và $AE=BN=\dfrac{1}{2}BC=2a$
Ta có $MN\bot \left( SAE \right)$, kẻ $AK\bot SE \left( K\in SE \right)\Rightarrow AK\bot \left( SNE \right)$
Lại $\widehat{\left( SC;\left( ABC \right) \right)}=\widehat{\left( SC;AC \right)}=\widehat{SCA}=60{}^\circ \Rightarrow SA=\tan 60{}^\circ .5a=5\sqrt{3}a$
Tam giác SAE vuông tại A, có $\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{E}^{2}}}\Rightarrow AK=\dfrac{10a\sqrt{3}}{\sqrt{79}}$.
Vậy khoảng cách cần tìm là $d=\dfrac{10a\sqrt{3}}{\sqrt{79}}$.
Đáp án B.