Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, $AB=3, BC=4$, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$, $SA=4$. Gọi AM, AN lần lượt là chiều cao của tam giác SAB và SAC. Thể tích khối tứ diện AMNC là
A. $\dfrac{128}{41}$
B. $\dfrac{768}{41}$
C. $\dfrac{384}{41}$
D. $\dfrac{256}{41}$
Ta có $\dfrac{S{{A}^{2}}}{A{{C}^{2}}}=\dfrac{SN}{CN}=\dfrac{16}{25}\Rightarrow {{V}_{AMNC}}=\dfrac{25}{16}{{V}_{S.AMN}}$.
+) $\dfrac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SM}{SB}.\dfrac{SN}{SC}$
+) $\dfrac{S{{A}^{2}}}{A{{B}^{2}}}=\dfrac{SM}{MB}=\dfrac{16}{9}\Rightarrow \dfrac{SM}{SB}=\dfrac{16}{25}$
+) $\dfrac{SN}{CN}=\dfrac{16}{25}\Rightarrow \dfrac{SN}{SC}=\dfrac{16}{41}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{256}{1025}$
Do đó ${{V}_{AMNC}}=\dfrac{25}{16}.\dfrac{256}{1025}{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{16}{41}.\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABC}}=\dfrac{128}{41}$.
A. $\dfrac{128}{41}$
B. $\dfrac{768}{41}$
C. $\dfrac{384}{41}$
D. $\dfrac{256}{41}$
Ta có $\dfrac{S{{A}^{2}}}{A{{C}^{2}}}=\dfrac{SN}{CN}=\dfrac{16}{25}\Rightarrow {{V}_{AMNC}}=\dfrac{25}{16}{{V}_{S.AMN}}$.
+) $\dfrac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SM}{SB}.\dfrac{SN}{SC}$
+) $\dfrac{S{{A}^{2}}}{A{{B}^{2}}}=\dfrac{SM}{MB}=\dfrac{16}{9}\Rightarrow \dfrac{SM}{SB}=\dfrac{16}{25}$
+) $\dfrac{SN}{CN}=\dfrac{16}{25}\Rightarrow \dfrac{SN}{SC}=\dfrac{16}{41}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{256}{1025}$
Do đó ${{V}_{AMNC}}=\dfrac{25}{16}.\dfrac{256}{1025}{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{16}{41}.\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABC}}=\dfrac{128}{41}$.
Đáp án A.