Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $AB=2a$ và $BC=2a\sqrt{3}$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, hình chiếu vuông góc của $S$ xuống mặt đáy là điểm $H$ nằm trên $AM$ thỏa mãn $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{HM}$. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( ABC \right)$ bằng $45{}^\circ $. Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:
A. $\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
B. $\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}$.
C. $\dfrac{8{{a}^{3}}}{3}$.
D. $\dfrac{8{{a}^{3}}}{9}$.
Ta có: $AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{12{{a}^{2}}-4{{a}^{2}}}=2a\sqrt{2}$
Vì $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{HM}$ nên $H$ chính là trung điểm của $AM$.
Kẻ đường thẳng qua $H$ và song song với $AC$, cắt $AB$ tại $I$ và $BC$ tại $N$. Vì $HI \text{//}AC$ nên $HI\bot AB$. Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BI\bot HI \\
& BI\bot SH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BI\bot SI $nên góc giữa $ \left( SAB \right) $và $ \left( ABC \right) $chính là $ \widehat{SIH}=45{}^\circ $.
Ta có $HN$ là đường trung bình của tam giác $MAC$ nên $HN=\dfrac{1}{2}AC=a\sqrt{2}$.
Xét tam giác $ABC$, ta có: $\dfrac{IN}{AC}=\dfrac{BN}{BC}=\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow IN=\dfrac{3}{4}AC=\dfrac{3a\sqrt{2}}{2}$.
Suy ra $IH=IN-HN=\dfrac{3a\sqrt{2}}{2}-a\sqrt{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Tam giác $SIH$ vuông tại $H$ và $\widehat{I}=45{}^\circ $ nên là tam giác cân, do đó $SH=IH=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Ta có: ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\dfrac{1}{2}.2a.2a\sqrt{2}=\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$
A. $\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
B. $\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}$.
C. $\dfrac{8{{a}^{3}}}{3}$.
D. $\dfrac{8{{a}^{3}}}{9}$.
Ta có: $AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{12{{a}^{2}}-4{{a}^{2}}}=2a\sqrt{2}$
Vì $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{HM}$ nên $H$ chính là trung điểm của $AM$.
Kẻ đường thẳng qua $H$ và song song với $AC$, cắt $AB$ tại $I$ và $BC$ tại $N$. Vì $HI \text{//}AC$ nên $HI\bot AB$. Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BI\bot HI \\
& BI\bot SH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BI\bot SI $nên góc giữa $ \left( SAB \right) $và $ \left( ABC \right) $chính là $ \widehat{SIH}=45{}^\circ $.
Ta có $HN$ là đường trung bình của tam giác $MAC$ nên $HN=\dfrac{1}{2}AC=a\sqrt{2}$.
Xét tam giác $ABC$, ta có: $\dfrac{IN}{AC}=\dfrac{BN}{BC}=\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow IN=\dfrac{3}{4}AC=\dfrac{3a\sqrt{2}}{2}$.
Suy ra $IH=IN-HN=\dfrac{3a\sqrt{2}}{2}-a\sqrt{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Tam giác $SIH$ vuông tại $H$ và $\widehat{I}=45{}^\circ $ nên là tam giác cân, do đó $SH=IH=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Ta có: ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\dfrac{1}{2}.2a.2a\sqrt{2}=\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$
Đáp án B.