Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ và có $AB=a$, $BC=a\sqrt{3}$. Mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$. Tính theo $a$ thể tích của khối chóp $S.ABC$.
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{8}$.
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}$.
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}$.
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$.
Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có: $AC$ $=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}$ $=\sqrt{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}-{{a}^{2}}}$ $=a\sqrt{2}$.
Diện tích tam giác $ABC$ là: ${{S}_{ABC}}$ $=\dfrac{1}{2}.AB.AC$ $=\dfrac{1}{2}.a.a\sqrt{2}$ $=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}$.
Gọi $H$ là trung điểm đoạn $AB$ thì $SH\bot AB$. Vì $\left( SAB \right)\bot \left( ABC \right)$ và $\left( SAB \right)\cap \left( ABC \right)=AB$ nên $SH\bot \left( ABC \right)$. Suy ra $SH$ là chiều cao của khối chóp $S.ABC$.
Tam giác $SAH$ vuông tại $H$ nên $SH$ $=SA.\sin \widehat{SAH}$ $=a.\sin 60{}^\circ $ $=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là: $V$ $=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ABC}}.SH$ $=\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ $=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}$.
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{8}$.
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}$.
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}$.
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$.
Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có: $AC$ $=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}$ $=\sqrt{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}-{{a}^{2}}}$ $=a\sqrt{2}$.
Diện tích tam giác $ABC$ là: ${{S}_{ABC}}$ $=\dfrac{1}{2}.AB.AC$ $=\dfrac{1}{2}.a.a\sqrt{2}$ $=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}$.
Gọi $H$ là trung điểm đoạn $AB$ thì $SH\bot AB$. Vì $\left( SAB \right)\bot \left( ABC \right)$ và $\left( SAB \right)\cap \left( ABC \right)=AB$ nên $SH\bot \left( ABC \right)$. Suy ra $SH$ là chiều cao của khối chóp $S.ABC$.
Tam giác $SAH$ vuông tại $H$ nên $SH$ $=SA.\sin \widehat{SAH}$ $=a.\sin 60{}^\circ $ $=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là: $V$ $=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ABC}}.SH$ $=\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ $=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}$.
Đáp án C.