Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ và có $AB=a,BC=a\sqrt{3},$ mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$. Thể tích $V$ của khối chóp $S.ABC$ là
A. $V=\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}.$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}.$
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}.$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}.$
Gọi $K$ là trung điểm của đoạn $AB.$
Ta có $\Delta SAB$ đều $\Rightarrow SK\bot AB.$
Mà $\left( SAB \right)\bot \left( ABC \right)$ theo giao tuyến $AB$
$\Rightarrow SK\bot \left( ABC \right)\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SK.{{S}_{\Delta ABC}}$
Ta có $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $AB=a,BC=a\sqrt{3}$
$\Rightarrow AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}$
$\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.AC=\dfrac{1}{2}a.a\sqrt{2}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}.$
${{S}_{\Delta ABC}}$ đều cạnh $AB=a\Rightarrow $ đường cao $SK=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}.$
A. $V=\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}.$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}.$
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}.$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}.$
Gọi $K$ là trung điểm của đoạn $AB.$
Ta có $\Delta SAB$ đều $\Rightarrow SK\bot AB.$
Mà $\left( SAB \right)\bot \left( ABC \right)$ theo giao tuyến $AB$
$\Rightarrow SK\bot \left( ABC \right)\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SK.{{S}_{\Delta ABC}}$
Ta có $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $AB=a,BC=a\sqrt{3}$
$\Rightarrow AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}$
$\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.AC=\dfrac{1}{2}a.a\sqrt{2}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}.$
${{S}_{\Delta ABC}}$ đều cạnh $AB=a\Rightarrow $ đường cao $SK=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}.$
Đáp án C.