Google
Câu hỏi: Cho hình chóp ${S.ABC}$ có đáy ${ABC}$ là tam giác vuông cân tại ${B}$, ${AB=a}$. Gọi ${I}$ là trung điểm ${AC}$, tam giác ${SAC}$ cân tại ${S}$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp ${S.ABC}$, biết góc giữa ${SB}$ và mặt phẳng đáy bằng ${45{}^\circ }$.
A. ${\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}.}$
B. ${\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}.}$
C. ${\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}.}$
D. ${\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{4}.}$
Ta có: tam giác SAC cân tại $S\Rightarrow SI\bot AC.$
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAC \right)\bot \left( ABC \right) \\
& \left( SAC \right)\cap \left( ABC \right)\Rightarrow AC\Rightarrow SI\bot \left( ABC \right) \\
& SI\bot AC \\
\end{aligned} \right.$
${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ABC}}.SI$
$\left( SB,\widehat{\left( ABC \right)} \right)=\widehat{SBI}={{45}^{0}}$ nên tam giác SBI vuông cân tại $I\Rightarrow SI=IB=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.BC=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ABC}}.SI=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$
A. ${\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}.}$
B. ${\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}.}$
C. ${\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}.}$
D. ${\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{4}.}$
Ta có: tam giác SAC cân tại $S\Rightarrow SI\bot AC.$
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAC \right)\bot \left( ABC \right) \\
& \left( SAC \right)\cap \left( ABC \right)\Rightarrow AC\Rightarrow SI\bot \left( ABC \right) \\
& SI\bot AC \\
\end{aligned} \right.$
${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ABC}}.SI$
$\left( SB,\widehat{\left( ABC \right)} \right)=\widehat{SBI}={{45}^{0}}$ nên tam giác SBI vuông cân tại $I\Rightarrow SI=IB=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.BC=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ABC}}.SI=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$
Đáp án A.