Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B...

$AC=AB\sqrt{2}=6a.$
Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC).
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot SA \\
& AB\bot SH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SAH \right)\Rightarrow AB\bot AH.$
Tương tự ta cũng có: $BC\bot CH$
Mà tam giác ABC vuông cân tại B.
Từ các điều trên ta có tứ giác ABCH là hình vuông
cạnh bằng $3a\sqrt{2}\Rightarrow HB=AC=6a$.
Ta có hình chóp tứ giác S.ABCH với đáy ABCH là hình vuông và SH vuông góc với đáy tại H.
Kẻ HK vuông góc với SC tại K.
Do BC vuông góc với (SHC) $\Rightarrow BC\bot HK$
Suy ra HK vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Ta có $AH//BC\subset \left( SBC \right)\Rightarrow AH//\left( SBC \right)$.
$\Rightarrow d=d\left( A;\left( SBC \right) \right)=d\left( H;\left( SBC \right) \right)=HK=2a\sqrt{3}$
Trong tam giác vuông HSC ta có $\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}-\dfrac{1}{H{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{12{{a}^{2}}}-\dfrac{1}{18{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{36{{a}^{2}}}$
$\Rightarrow SH=6a.$
Tam giác HSB vuông cân tại H, suy ra $SH=HB\sqrt{2}=6a\sqrt{2}$.
Mặt cầu tâm I bán kính R ngoại tiếp hình chóp S.ABC cũng chính là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCH và có tâm I là trung điểm của SB, bán kính $R=\dfrac{SB}{2}=3a\sqrt{2}$.
Thể tích khối cầu là $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=72\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}=24\sqrt{18}\pi {{a}^{3}}$