Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, $BC=2a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy $ABC$ và $SA=2a\sqrt{3}$. Gọi $M$ là trung điểm của $AC$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SM$ bằng:
A. $\dfrac{2a\sqrt{13}}{13}$
B. $\dfrac{2a\sqrt{3}}{13}$
C. $\dfrac{a\sqrt{39}}{13}$.
D. $\dfrac{2a\sqrt{39}}{13}$.
Gọi $N$ là trung điểm $BC$, lại có $M$ là trung điểm $AC\Rightarrow MN//AB$
Mặt khác $MN\subset \left( SMN \right),AB\cap \left( SMN \right)=\varnothing \Rightarrow AB//\left( SMN \right)$
$\Rightarrow d\left( AB;SM \right)=d\left( AB;\left( SMN \right) \right)=d\left( A;\left( SMN \right) \right)$
Trong $\left( ABC \right)$, kẻ $AE\bot MN$ tại $E$, dễ thấy $AE=BN=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{BA}{2}=a$
Khi đó $EN\bot SA\left( do SA\bot \left( ABC \right) \right)$ $\Rightarrow EN\bot \left( SAE \right)$, $EN\subset \left( SEN \right)$
$\Rightarrow \left( SEN \right)\bot \left( SAE \right)$ theo giao tuyến $SE$.
Kẻ $AF\bot SE,AF\subset \left( SAE \right)\Rightarrow AF=d\left( A;\left( SMN \right) \right)$
$\Delta SAE$ vuông tại $A$ có $\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{E}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{F}^{2}}}\Rightarrow AF=\dfrac{2a\sqrt{39}}{13}$.
A. $\dfrac{2a\sqrt{13}}{13}$
B. $\dfrac{2a\sqrt{3}}{13}$
C. $\dfrac{a\sqrt{39}}{13}$.
D. $\dfrac{2a\sqrt{39}}{13}$.
Gọi $N$ là trung điểm $BC$, lại có $M$ là trung điểm $AC\Rightarrow MN//AB$
Mặt khác $MN\subset \left( SMN \right),AB\cap \left( SMN \right)=\varnothing \Rightarrow AB//\left( SMN \right)$
$\Rightarrow d\left( AB;SM \right)=d\left( AB;\left( SMN \right) \right)=d\left( A;\left( SMN \right) \right)$
Trong $\left( ABC \right)$, kẻ $AE\bot MN$ tại $E$, dễ thấy $AE=BN=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{BA}{2}=a$
Khi đó $EN\bot SA\left( do SA\bot \left( ABC \right) \right)$ $\Rightarrow EN\bot \left( SAE \right)$, $EN\subset \left( SEN \right)$
$\Rightarrow \left( SEN \right)\bot \left( SAE \right)$ theo giao tuyến $SE$.
Kẻ $AF\bot SE,AF\subset \left( SAE \right)\Rightarrow AF=d\left( A;\left( SMN \right) \right)$
$\Delta SAE$ vuông tại $A$ có $\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{E}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{F}^{2}}}\Rightarrow AF=\dfrac{2a\sqrt{39}}{13}$.
Đáp án D.