Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B...

The Knowledge · 16/1/22

Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,

B C = a

, cạnh bên SA vuông góc với đáy,

S A = a \sqrt{3}

. Gọi M là trung điểm của AC. Tính côtang góc giữa hai mặt phẳng

(S B M)

và

(S A B)

.
A.

\frac{\sqrt{3}}{2}

B. 1
C.

\frac{\sqrt{21}}{7}

D.

\frac{2 \sqrt{7}}{7}

HD: Gọi E là trung điểm của AB

\Rightarrow M E // B C \Rightarrow M E ⊥ A B

Mặt khác

M E ⊥ S A \Rightarrow M E ⊥ (S A B) \Rightarrow M E ⊥ S B

.
Dựng

E H ⊥ S B \Rightarrow S B ⊥ (E H M) \Rightarrow \hat{((S A B); (S B M))} = \hat{E H M}

.
Do

M E ⊥ (S A B) \Rightarrow M E ⊥ E H \Rightarrow Δ M E H

vuông tại E.
Ta có:

M E = \frac{B C}{2} = \frac{a}{2}, \tan \hat{S B A} = \frac{S A}{A B} = \sqrt{3} \Rightarrow \hat{S B A} = 60^{\circ}

Suy ra

E H = E B \sin 60^{\circ} = \frac{a}{2} . \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{4}

Do đó

\cot \hat{E H M} = \frac{E H}{E M} = \frac{\sqrt{3}}{2}

.

Đáp án A.