Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, $SA\bot \left( ABC \right)$, $AB=a$. Biết góc giữa đường thẳng $AC$ và mặt phẳng $\left( SBC \right)$ bằng $30{}^\circ $. Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
C. ${{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.
Từ $A$ kẻ $AH\bot SB$ tại $B$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AB \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot AH$.
Lại có $\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot SB \\
& AH\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)$.
Từ đó suy ra $\left( AC,\left( SBC \right) \right)=\left( AC,HC \right)=\widehat{ACH}=30{}^\circ $.
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên $AC=AB\sqrt{2}=a\sqrt{2}$.
Xét $\Delta AHC$ vuông tại $H:AH=AC.\sin \widehat{ACH}=a\sqrt{2}.\sin 30{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Xét $\Delta SAB$ vuông tại $A:\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{S{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}\Rightarrow SA=a$.
Diện tích tam giác $ABC$ là ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}A{{B}^{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$.
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABC}}.SA=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
C. ${{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.
Từ $A$ kẻ $AH\bot SB$ tại $B$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AB \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot AH$.
Lại có $\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot SB \\
& AH\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)$.
Từ đó suy ra $\left( AC,\left( SBC \right) \right)=\left( AC,HC \right)=\widehat{ACH}=30{}^\circ $.
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên $AC=AB\sqrt{2}=a\sqrt{2}$.
Xét $\Delta AHC$ vuông tại $H:AH=AC.\sin \widehat{ACH}=a\sqrt{2}.\sin 30{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Xét $\Delta SAB$ vuông tại $A:\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{S{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}\Rightarrow SA=a$.
Diện tích tam giác $ABC$ là ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}A{{B}^{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$.
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABC}}.SA=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
Đáp án A.