Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, $AC=2a$, tam giác $SAB$ và tam giác $SCB$ lần lượt vuông tại $A$ và $C$. Khoảng...

Dựng hình vuông $ABCD$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot SA \\
& AB\bot AD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left(SAD \right)\Rightarrow SD\bot AB$.
Và $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot SC \\
& BC\bot CD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left(SCD \right)\Rightarrow SD\bot BC$.
Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& SD\bot AB \\
& SD\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SD\bot \left(ABCD \right)\Rightarrow SD=d\left(S;\left( ABCD \right) \right)=a$.
Kẻ $DH\bot SA$ và $DK\bot SC$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& DH\bot SA \\
& DH\bot AB \left(do AB\bot \left( SAD \right) \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow DH\bot \left(SAB \right)$
Tương tự, $\left\{ \begin{aligned}
& DK\bot SC \\
& DK\bot BC \left(do BC\bot \left( SCD \right) \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow DK\bot \left(SBC \right)$.
Do đó $\widehat{\left(\left( SAB \right);\left(SBC \right) \right)}=\widehat{\left(DH, DK \right)}=\widehat{HDK}$.
Mà $AD=\frac{AC}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}$, $SA=\sqrt{S{{D}^{2}}+A{{D}^{2}}}=a\sqrt{3}$ và $DH=DK=\sqrt{\frac{S{{D}^{2}}. A{{D}^{2}}}{S{{A}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$
$\Rightarrow SK=SH=\sqrt{S{{D}^{2}}-D{{K}^{2}}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& HK//AC \\
& \frac{HK}{AC}=\frac{SH}{SA}=\frac{1}{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow HK=\frac{2a}{3}$.
Vậy $\cos \widehat{HDK}=\frac{D{{H}^{2}}+D{{K}^{2}}-H{{K}^{2}}}{2DH. DK}=\frac{2}{3}$.