Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, $AC=2a,$ tam giác SAB và tam giác SCB lần lượt vuông tại A và C. Khoảng cách từ S đến...

Cách giải:

Xét $\Delta SAB$ và $\Delta SAC$ có:
$\angle SAB=\angle SCB={{90}^{0}}$
SB chung
$AB=CB$ (gt)
$\Rightarrow \Delta SAB=\Delta SCB$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Trong (SAB) kẻ $AH\bot SB\left( H\in SB \right)$ ta dễ dàng chứng minh được:
$\Delta AHB=\Delta CHB\Rightarrow CH\bot SB$ và $CH=AH$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\cap \left( SCB \right)=SB \\
& AH\subset \left( SAB \right),AH\bot SB \\
& CH\subset \left( SCB \right),CH\bot SB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \angle \left( \left( SAB \right),\left( SCB \right) \right)=\angle \left( AH,CH \right)$
Gọi I là trung điểm của $AC\Rightarrow HI\bot AC$ và $BI\bot AC\Rightarrow AC\bot \left( BHI \right)$
Trong (BHI) kẻ $HK\bot BI\left( K\in BI \right)$ ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& HK\bot BI \\
& HK\bot AC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow HK\bot \left( ABC \right)$
Đặt $AH=CH=x$ ta có:
$HI=\sqrt{A{{H}^{2}}-A{{I}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}$
$BH=\sqrt{A{{B}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{2{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}$
$BI=\dfrac{1}{2}CA=a$
$\Rightarrow H{{I}^{2}}+B{{H}^{2}}={{x}^{2}}-{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}-{{x}^{2}}={{a}^{2}}=B{{I}^{2}}$
$\Rightarrow \Delta BHI$ vuông tạo H (định lý Pytago đảo)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông BHI ta có: $HK=\dfrac{BH.HI}{BI}=\dfrac{\sqrt{2{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}.\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}}{a}$
Ta có: $SH\cap \left( ABC \right)=B$
$\Rightarrow \dfrac{d\left( H,\left( ABC \right) \right)}{d\left( S,\left( ABC \right) \right)}=\dfrac{HB}{SB}=\dfrac{HB}{\dfrac{A{{B}^{2}}}{HB}}=\dfrac{H{{B}^{2}}}{A{{B}^{2}}}=\dfrac{2{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}{2{{a}^{2}}}$
$\Rightarrow \dfrac{HK}{a}=\dfrac{2{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}{2{{a}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{2{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}.\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}}{{{a}^{2}}}=\dfrac{2{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}{2{{a}^{2}}}$
$\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}=\dfrac{2{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}{2}\Leftrightarrow 4\left( {{x}^{2}}-{{a}^{2}} \right)=2{{a}^{2}}-{{x}^{2}}$
$\Leftrightarrow 5{{x}^{2}}=6{{a}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\dfrac{6{{a}^{2}}}{5}$
Xét tam giác AHC có: $\cos \angle AHC=\dfrac{A{{H}^{2}}+C{{H}^{2}}-A{{C}^{2}}}{2A{{H}^{2}}}=\dfrac{\dfrac{6{{a}^{2}}}{5}+\dfrac{6{{a}^{2}}}{5}-4{{a}^{2}}}{2.\dfrac{6{{a}^{2}}}{5}}=-\dfrac{2}{3}<0$
Vậy $\cos \angle \left( \left( SAB \right),\left( SCB \right) \right)=\dfrac{2}{3}$