Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ và $AB=a,$ cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a.$ Gọi $D,E,F$ lần lượt là điểm đối xứng của $A$ qua $C,$ của $S$ qua $B$ và của $A$ qua mặt phẳng $\left( SBC \right).$ Thể tích của khối tứ diện $ADEF$ bằng
A. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$
B. $\dfrac{2\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$
D. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$
A. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$
B. $\dfrac{2\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$
D. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$
Cách giải:
Ta có: $A\left( 0;0;0 \right);E\left( 0;2;-1 \right);D\left( 2;0;0 \right);BE'=1;EE'=AS=1$
$AI\bot \left( SBC \right)\Rightarrow I$ là trực tâm $\Delta SBC$ đều nên $I$ là trọng tâm $\Delta SBC$
$\Rightarrow SI=\dfrac{2}{3}SH\Rightarrow \overrightarrow{SI}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{SH}$
$I\left( a;b;c \right)\Rightarrow \overrightarrow{SI}=\left( a,b,c-1 \right)$
$H\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};0 \right)\Rightarrow \overrightarrow{SH}=\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};-1 \right)$
Ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3} \\
& b=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3} \\
& c-1=\dfrac{-2}{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I\left( \dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3} \right)$
Điểm $F$ đối xứng với $A$ qua $I$ nên $F\left( \dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3} \right)$
Ta có: $\overrightarrow{AD}=\left( 2;0;0 \right),\overrightarrow{AE}=\left( 0;2;-1 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE} \right]=\left( 0;2;4 \right).$
$\Rightarrow \left| \left[ \overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE} \right].\overrightarrow{AF} \right|=4$
${{V}_{ADEF}}=\dfrac{1}{6}\left| \left[ \overrightarrow{AE},\overrightarrow{AD} \right].\overrightarrow{AF} \right|=\dfrac{1}{6}.4=\dfrac{2}{3}$
Vậy thể tích khối tứ diện $ADEF$ là $\dfrac{2a}{3}.$
Ta có: $A\left( 0;0;0 \right);E\left( 0;2;-1 \right);D\left( 2;0;0 \right);BE'=1;EE'=AS=1$
$AI\bot \left( SBC \right)\Rightarrow I$ là trực tâm $\Delta SBC$ đều nên $I$ là trọng tâm $\Delta SBC$
$\Rightarrow SI=\dfrac{2}{3}SH\Rightarrow \overrightarrow{SI}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{SH}$
$I\left( a;b;c \right)\Rightarrow \overrightarrow{SI}=\left( a,b,c-1 \right)$
$H\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};0 \right)\Rightarrow \overrightarrow{SH}=\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};-1 \right)$
Ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3} \\
& b=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3} \\
& c-1=\dfrac{-2}{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I\left( \dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3} \right)$
Điểm $F$ đối xứng với $A$ qua $I$ nên $F\left( \dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3} \right)$
Ta có: $\overrightarrow{AD}=\left( 2;0;0 \right),\overrightarrow{AE}=\left( 0;2;-1 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE} \right]=\left( 0;2;4 \right).$
$\Rightarrow \left| \left[ \overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE} \right].\overrightarrow{AF} \right|=4$
${{V}_{ADEF}}=\dfrac{1}{6}\left| \left[ \overrightarrow{AE},\overrightarrow{AD} \right].\overrightarrow{AF} \right|=\dfrac{1}{6}.4=\dfrac{2}{3}$
Vậy thể tích khối tứ diện $ADEF$ là $\dfrac{2a}{3}.$
Đáp án A.