Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A,$ cạnh $AC=a,$ các cạnh bên $SA=SB=SC=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.$ Tính góc tạo bởi mặt bên $\left( SAB \right)$ và mặt phẳng đáy $\left( ABC \right).$
A. $\dfrac{\pi }{6}$
B. $\dfrac{\pi }{4}$
C. $\arctan \sqrt{2}$
D. $\arctan 2$
A. $\dfrac{\pi }{6}$
B. $\dfrac{\pi }{4}$
C. $\arctan \sqrt{2}$
D. $\arctan 2$
Cách giải:
Gọi $H$ là trung điểm của $BC\Rightarrow H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC.$
Mà $SA=SB=SC$ nên $SH\bot \left( ABC \right).$
Gọi $I$ là trung điểm của $AB\Rightarrow SI\bot AB.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot SI \\
& AB\bot SH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SHI \right)\Rightarrow AB\bot HI.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\cap \left( ABC \right)=AB \\
& SI\subset \left( SAB \right),SI\bot AB \\
& HI\subset \left( ABC \right),HI\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \angle \left( \left( SAB \right);\left( ABC \right) \right)=\angle \left( SI;HI \right)=\angle SIH.$
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ có $AC=a\Rightarrow BC=a\sqrt{2}\Rightarrow BH=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
Áp dụng định lí Pytago ta có: $SH=\sqrt{S{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{3{{a}^{2}}}{2}-\dfrac{{{a}^{2}}}{2}}=a.$
Vì $HI$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $HI=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{a}{2}.$
Xét tam giác vuông $SHI$ ta có: $\tan \angle SIH=\dfrac{SH}{SI}=\dfrac{a}{a/2}=2\Rightarrow \angle SIH=\arctan 2.$
Gọi $H$ là trung điểm của $BC\Rightarrow H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC.$
Mà $SA=SB=SC$ nên $SH\bot \left( ABC \right).$
Gọi $I$ là trung điểm của $AB\Rightarrow SI\bot AB.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot SI \\
& AB\bot SH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SHI \right)\Rightarrow AB\bot HI.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\cap \left( ABC \right)=AB \\
& SI\subset \left( SAB \right),SI\bot AB \\
& HI\subset \left( ABC \right),HI\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \angle \left( \left( SAB \right);\left( ABC \right) \right)=\angle \left( SI;HI \right)=\angle SIH.$
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ có $AC=a\Rightarrow BC=a\sqrt{2}\Rightarrow BH=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
Áp dụng định lí Pytago ta có: $SH=\sqrt{S{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{3{{a}^{2}}}{2}-\dfrac{{{a}^{2}}}{2}}=a.$
Vì $HI$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $HI=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{a}{2}.$
Xét tam giác vuông $SHI$ ta có: $\tan \angle SIH=\dfrac{SH}{SI}=\dfrac{a}{a/2}=2\Rightarrow \angle SIH=\arctan 2.$
Đáp án D.