Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A.$ Tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy $\left( ABC...

Cách giải:

Gọi $H$ là trung điểm của $AB,$ do tam giác $SAB$ đều nên $SH\bot AB.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\bot \left( ABC \right)=AB \\
& SH\subset \left( SAB \right),SH\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right).$
Dựng hình vuông $ABFC$ ta có $BF//AC\Rightarrow AC//\left( BMF \right)$
$\Rightarrow d\left( AC;BM \right)=d\left( AC;\left( BMF \right) \right)=d\left( A;\left( BMF \right) \right)$.
Lại có $AH\cap \left( BMF \right)=B\Rightarrow \dfrac{d\left( A;\left( BMF \right) \right)}{d\left( H;\left( BMF \right) \right)}=\dfrac{AB}{HB}=2\Rightarrow d\left( A;\left( BMF \right) \right)=2d\left( H;\left( BMF \right) \right)$
Trong $\left( SHC \right)$ kẻ $ME//SH\left( E\in CH \right)\Rightarrow ME\bot \left( ABC \right).$
Kéo dài $HC$ cắt $BF$ tại $N,$ áp dụng định lí Ta-lét ta có $\dfrac{BH}{FC}=\dfrac{NH}{NC}=\dfrac{NB}{NF}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow H$ là trung điểm của $NC$
$\Rightarrow ACBN$ là hình bình hành
Ta có: $HE\cap \left( BMF \right)=N\Rightarrow \dfrac{d\left( H;\left( BMF \right) \right)}{d\left( E;\left( BMF \right) \right)}=\dfrac{HN}{EN}=\dfrac{HC}{HE+HC}$
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: $\dfrac{HE}{HC}=\dfrac{SM}{SC}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow HE=\dfrac{1}{3}HC$
$\Rightarrow \dfrac{d\left( H;\left( BMF \right) \right)}{d\left( E;\left( BMF \right) \right)}=\dfrac{HN}{EN}=\dfrac{HC}{HE+HC}=\dfrac{HC}{\dfrac{1}{3}HC+HC}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow d\left( H;\left( BMF \right) \right)=\dfrac{3}{4}d\left( E;\left( BMF \right) \right)$
$\Rightarrow d\left( AC;BM \right)=d\left( A;\left( BMF \right) \right)=\dfrac{3}{2}d\left( E;\left( BMF \right) \right)$
Trong $\left( ABC \right)$ kẻ $EI//AB\left( I\in BF \right),$ trong $\left( MEI \right)$ kẻ $EJ\bot IM$ ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& BF\bot AB,EI//AB\Rightarrow BF\bot EI \\
& BF\bot ME\left( ME\bot \left( ABC \right) \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BF\bot \left( MEI \right)\Rightarrow BF\bot EJ$
$\left\{ \begin{aligned}
& EJ\bot BF \\
& EJ\bot MI \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow EJ\bot \left( BMF \right)\Rightarrow d\left( E;\left( BMF \right) \right)=EJ$
$\Rightarrow d\left( AC;BM \right)=\dfrac{3}{2}d\left( E;\left( BMF \right) \right)=\dfrac{3}{2}EJ=\dfrac{4\sqrt{21}}{7}\Rightarrow EJ=\dfrac{8}{\sqrt{21}}.$
Ta có: $\dfrac{ME}{SH}=\dfrac{CM}{CS}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow ME=\dfrac{2}{3}SH.$ Mà $Sh=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}\Rightarrow ME=\dfrac{AB\sqrt{3}}{3}.$
Ta có: $\dfrac{HN}{EN}=\dfrac{3}{4}\left( cmt \right)\Rightarrow \dfrac{NE}{NH}=\dfrac{4}{3}\Rightarrow \dfrac{NE}{NC}=\dfrac{2}{3}=\dfrac{IE}{FC}=\dfrac{IE}{AB}\Rightarrow IE=\dfrac{2}{3}AB.$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác $MEI$ ta có:
$\dfrac{1}{E{{J}^{2}}}=\dfrac{1}{E{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{E{{M}^{2}}}$
$\Rightarrow \dfrac{21}{64}=\dfrac{1}{\dfrac{4}{9}A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{3}A{{B}^{2}}}$
$\Rightarrow \dfrac{21}{64}=\dfrac{21}{4A{{B}^{2}}}$
$\Leftrightarrow AB=4$
$\Rightarrow ME=\dfrac{AB\sqrt{3}}{3}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3},{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}A{{B}^{2}}=8.$
Vậy ${{V}_{C.ABM}}=\dfrac{1}{3}ME.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{4\sqrt{3}}{3}.8=\dfrac{32\sqrt{3}}{9}.$