: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A,BC=\sqrt{2}a,$ cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa $SA$ và mặt...

Gọi $M$ là trung điểm của $BC.$ Nối $SM,$ kẻ $AH$ vuông góc với $SM$ tại $H.$
Ta có:
$BC\bot AM$ (do $M$ là trung điểm của $BC$ và tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ )
$BC\bot SA$ (do $SA\bot \left( ABC \right),BC\subset \left( ABC \right)$ )
Nên: $BC\bot \left( SAM \right)\Rightarrow BC\bot AH$ (vì $AH\subset \left( SAM \right)$ )
Lại có: $AH\bot SM$ (cách dựng)
Suy ra: $AH\bot \left( SBC \right)$ tại $H.$
$\Rightarrow H$ là hình chiếu của $A$ trên $\left( SBC \right)$.
$\Rightarrow SH$ là hình chiếu của $SA$ trên $\left( SBC \right)$.
$\Rightarrow \widehat{\left( SA,\left( SBC \right) \right)}=\widehat{\left( SA,SH \right)}=\widehat{ASH}=\widehat{ASM}\Rightarrow \widehat{ASM}={{30}^{0}}$
+) Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A\Rightarrow 2A{{B}^{2}}=B{{C}^{2}}=2{{a}^{2}}\Rightarrow AB=a\Rightarrow AC=AB=a$
$\Rightarrow {{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.AC=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$
Có: $AM=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Tam giác $SAM$ vuông tại $A\Rightarrow SA=\dfrac{AM}{\tan {{30}^{0}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$
Vậy thể tích của khối chóp $S.ABC$ là: ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.SA.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}.$