Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân ở B, $AC=a\sqrt{2},$ $SA=a,$ $SA\bot \left( ABC \right).$ Gọi G là trọng tâm tam giác SBC, mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua AG và song song với BC cắt SB, SC lần lượt tại M, N. Tính thể tích V của khối chóp S.AMN?
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{9}.$
B. $V=\dfrac{2{{a}^{3}}}{27}.$
C. $V=\dfrac{2{{a}^{3}}}{9}.$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}.$
Qua G kẻ đường thẳng song song với BC, cắt SB tại M và cắt SC tại N.
Gọi H là trung điểm của BC.
Ta có: $MN\text{//}BC\Rightarrow \dfrac{SM}{SB}=\dfrac{SN}{SC}=\dfrac{SG}{SH}=\dfrac{2}{3}$ (định lý Ta-lét)
Lại có $AB=\dfrac{AC}{\sqrt{2}}=a$ ( $\Delta ABC$ vuông cân tại B)
${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}SA.A{{B}^{2}}=\dfrac{1}{3}a.\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}=\dfrac{1}{6}{{a}^{3}}.$
Theo công thức tỉ lệ thể tích ta có :
$\dfrac{{{V}_{SAMN}}}{{{V}_{SABC}}}=\dfrac{SA}{SA}.\dfrac{SM}{SB}.\dfrac{SN}{SC}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{9}.$
$\Rightarrow {{V}_{SAMN}}=\dfrac{4}{9}{{V}_{SABC}}=\dfrac{4}{9}.\dfrac{1}{6}{{a}^{3}}=\dfrac{2}{27}{{a}^{3}}.$
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{9}.$
B. $V=\dfrac{2{{a}^{3}}}{27}.$
C. $V=\dfrac{2{{a}^{3}}}{9}.$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}.$
Qua G kẻ đường thẳng song song với BC, cắt SB tại M và cắt SC tại N.
Gọi H là trung điểm của BC.
Ta có: $MN\text{//}BC\Rightarrow \dfrac{SM}{SB}=\dfrac{SN}{SC}=\dfrac{SG}{SH}=\dfrac{2}{3}$ (định lý Ta-lét)
Lại có $AB=\dfrac{AC}{\sqrt{2}}=a$ ( $\Delta ABC$ vuông cân tại B)
${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}SA.A{{B}^{2}}=\dfrac{1}{3}a.\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}=\dfrac{1}{6}{{a}^{3}}.$
Theo công thức tỉ lệ thể tích ta có :
$\dfrac{{{V}_{SAMN}}}{{{V}_{SABC}}}=\dfrac{SA}{SA}.\dfrac{SM}{SB}.\dfrac{SN}{SC}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{9}.$
$\Rightarrow {{V}_{SAMN}}=\dfrac{4}{9}{{V}_{SABC}}=\dfrac{4}{9}.\dfrac{1}{6}{{a}^{3}}=\dfrac{2}{27}{{a}^{3}}.$
Đáp án B.