Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân có AB = BC =...

Phương pháp:
+ Sử dụng d (a; b ) = d (a; (P)) = d (A; (P)) với b (P), a // (P), A a để đưa về tìm khoảng cách giữa điểm A và mặt phẳng (P) sao cho AB // ( P ).
+ Sử dụng định lý Pytago và hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính toán.
Cách giải:

Trong (ABC), qua M kẻ đường thẳng song song với AB, qua B kẻ đường thẳng song song với AM . Hai đường thẳng này cắt nhau tại E ta được tứ giác ABEM là hình bình hành.
Vì ME / / AB AB / / ( SME)
d (AB; SM ) = d ( AB; (SME)) = d (A; (SME))
Từ A trong mặt phẳng (ABEM) kẻ AK ME , lại có
ME SA (do SA (ABEM )) EK (SAK)
Trong (SAK) kẻ AH SK tại H
Ta có AH SK; EK AH (do EK (SAK)) AH (SKE) tại H.
Từ đó d(AB; SM ) = d(A; (SME )) = AH
+ Xét tam giác SBA vuông tại A có $SA=AB.\tan SBA=a.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{3}.$
+ Lại có ABC vuông cân tại B nên $AC=AB\sqrt{2}=a\sqrt{2}\Rightarrow CM=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Do đó $AM=AC+CM=\dfrac{3a\sqrt{2}}{2}$
+ ABC vuông cân tại B nên ACB = 45° CBE = ACB = 45° (hai góc so le trong)
Từ đó ABE = ABC + CBE = 90° + 45° = 135° , suy ra AME = 135° (hai góc đối hình bình hành)
Nên tam giác AME là tam giác tù nên K năm ngoài đoạn ME.
Ta có KMA = 180° - AME = 45° mà tam giác AMK vuông tại K nên tam giác AMK vuông cân tại K
$\Rightarrow AK=\dfrac{AM}{\sqrt{2}}=\dfrac{3a}{2}$
+ Xét tam giác SAK vuông tại A có đường cao AH, ta có
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{\dfrac{9{{a}^{2}}}{4}}\Rightarrow AH=\dfrac{3a\sqrt{7}}{7}$
Vậy $d\left( AB;SM \right)=\dfrac{3a\sqrt{7}}{7}.$