Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy (ABC) là tam giác đều $SA\bot (ABC)$. Mặt phẳng (SBC) cách A một khoảng bằng a và hợp với mặt phẳng (ABC) một góc $30{}^\circ $. Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng
A. $\dfrac{8{{a}^{3}}}{9}$.
B. $\dfrac{8{{a}^{3}}}{3}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{12}$.
D. $\dfrac{4{{a}^{3}}}{9}$.
Gọi $I$ là trung điểm sủa $BC$ suy ra góc giữa mp $\left( SBC \right)$ và mp $\left( ABC \right)$ là $\widehat{SIA}=30{}^\circ $.
$H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $SI$ suy ra $d\left( A,\left( SBC \right) \right)=AH=a$.
Xét tam giác $AHI$ vuông tại $H$ có: $AI=\dfrac{AH}{\sin 30{}^\circ }=2a$.
Xét tam giác $SAI$ vuông tại $A$ có: $SA=AI.\tan 30{}^\circ =\dfrac{2a}{\sqrt{3}}$.
Giả sử tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $x$, mà $AI$ là đường cao nên: $2a=x\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=\dfrac{4a}{\sqrt{3}}$.
Diện tích tam giác đều $ABC$ là ${{S}_{ABC}}={{\left( \dfrac{4a}{\sqrt{3}} \right)}^{2}}.\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{4{{a}^{2}}\sqrt{3}}{3}$.
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ABC}}.SA$ $=\dfrac{1}{3}.\dfrac{4{{a}^{2}}\sqrt{3}}{3}.\dfrac{2a}{\sqrt{3}}$ $=\dfrac{8{{a}^{3}}}{9}$.
A. $\dfrac{8{{a}^{3}}}{9}$.
B. $\dfrac{8{{a}^{3}}}{3}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{12}$.
D. $\dfrac{4{{a}^{3}}}{9}$.
Gọi $I$ là trung điểm sủa $BC$ suy ra góc giữa mp $\left( SBC \right)$ và mp $\left( ABC \right)$ là $\widehat{SIA}=30{}^\circ $.
$H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $SI$ suy ra $d\left( A,\left( SBC \right) \right)=AH=a$.
Xét tam giác $AHI$ vuông tại $H$ có: $AI=\dfrac{AH}{\sin 30{}^\circ }=2a$.
Xét tam giác $SAI$ vuông tại $A$ có: $SA=AI.\tan 30{}^\circ =\dfrac{2a}{\sqrt{3}}$.
Giả sử tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $x$, mà $AI$ là đường cao nên: $2a=x\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=\dfrac{4a}{\sqrt{3}}$.
Diện tích tam giác đều $ABC$ là ${{S}_{ABC}}={{\left( \dfrac{4a}{\sqrt{3}} \right)}^{2}}.\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{4{{a}^{2}}\sqrt{3}}{3}$.
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ABC}}.SA$ $=\dfrac{1}{3}.\dfrac{4{{a}^{2}}\sqrt{3}}{3}.\dfrac{2a}{\sqrt{3}}$ $=\dfrac{8{{a}^{3}}}{9}$.
Đáp án A.