Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều, hình chiếu...

Ta có là trung điểm cạnh , cân tại .
Trong tam giác kẻ
Ta có: .
Mà và .
Từ và vuông cân tại .
Gọi cạnh tam giác là ; .
Mà $\left\{ \begin{aligned}
& AK\bot SC \\
& BK\bot SC \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow SC\bot \left( ABK \right) \Rightarrow SC\bot HKSHCHHKHK=\dfrac{SH.HC}{\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}}}\Leftrightarrow \dfrac{x}{2}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{x\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}+\dfrac{3{{x}^{2}}}{4}}}\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}}{4}.\dfrac{3{{a}^{2}}+3{{x}^{2}}}{4}=\dfrac{9{{a}^{2}}{{x}^{2}}}{16}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=2{{a}^{2}}\Leftrightarrow x=a\sqrt{2}S.ABC{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{2{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.$$