Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều, hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ trên mặt đáy là trung điểm $H$ của cạnh $AB$. Biết $SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ và mặt phẳng $\left( SAC \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( SBC \right)$. Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{16}.$
D. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}.$
Ta có $H$ là trung điểm cạnh $AB$, $SH\bot AB$ $\Rightarrow \Delta SAB$ cân tại $S\Rightarrow SA=SB$.
Trong tam giác $SAC$ kẻ $AK\bot SC; \left( K\in SC \right)$
Ta có:$\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAC \right)\bot \left( SBC \right) \\
& \left( SAC \right)\cap \left( SBC \right)=SC \\
& AK\subset \left( SAC \right); AK\bot SC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AK\bot \left( SBC \right) $ $ \Rightarrow AK\bot BK $ $ \left( 1 \right)$.
Mà $\Delta SAC=\Delta SBC$ $\Rightarrow AK=BK$ $\left( 2 \right)$ và $\left\{ \begin{aligned}
& AK\bot SC \\
& BK\bot SC \\
\end{aligned} \right.$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ $\Rightarrow \Delta AKB$ vuông cân tại $K$.
Gọi cạnh tam giác $ABC$ là $x$ $,\left( x>0 \right)$ $\Rightarrow HC=\dfrac{x\sqrt{3}}{2}$ ; $HK=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{x}{2}$.
Mà $\left\{ \begin{aligned}
& AK\bot SC \\
& BK\bot SC \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow SC\bot \left( ABK \right) $ $ \Rightarrow SC\bot HK$.
Xét tam giác $SHC$ vuông tại $H$ đường cao $HK$ có: $HK=\dfrac{SH.HC}{\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}}}$ $\Leftrightarrow \dfrac{x}{2}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{x\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}+\dfrac{3{{x}^{2}}}{4}}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}}{4}.\dfrac{3{{a}^{2}}+3{{x}^{2}}}{4}=\dfrac{9{{a}^{2}}{{x}^{2}}}{16}$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}=2{{a}^{2}}$ $\Leftrightarrow x=a\sqrt{2}$.
Vậy thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng: ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{2{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$ $=\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.$$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{16}.$
D. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}.$
Ta có $H$ là trung điểm cạnh $AB$, $SH\bot AB$ $\Rightarrow \Delta SAB$ cân tại $S\Rightarrow SA=SB$.
Trong tam giác $SAC$ kẻ $AK\bot SC; \left( K\in SC \right)$
Ta có:$\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAC \right)\bot \left( SBC \right) \\
& \left( SAC \right)\cap \left( SBC \right)=SC \\
& AK\subset \left( SAC \right); AK\bot SC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AK\bot \left( SBC \right) $ $ \Rightarrow AK\bot BK $ $ \left( 1 \right)$.
Mà $\Delta SAC=\Delta SBC$ $\Rightarrow AK=BK$ $\left( 2 \right)$ và $\left\{ \begin{aligned}
& AK\bot SC \\
& BK\bot SC \\
\end{aligned} \right.$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ $\Rightarrow \Delta AKB$ vuông cân tại $K$.
Gọi cạnh tam giác $ABC$ là $x$ $,\left( x>0 \right)$ $\Rightarrow HC=\dfrac{x\sqrt{3}}{2}$ ; $HK=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{x}{2}$.
Mà $\left\{ \begin{aligned}
& AK\bot SC \\
& BK\bot SC \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow SC\bot \left( ABK \right) $ $ \Rightarrow SC\bot HK$.
Xét tam giác $SHC$ vuông tại $H$ đường cao $HK$ có: $HK=\dfrac{SH.HC}{\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}}}$ $\Leftrightarrow \dfrac{x}{2}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{x\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}+\dfrac{3{{x}^{2}}}{4}}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}}{4}.\dfrac{3{{a}^{2}}+3{{x}^{2}}}{4}=\dfrac{9{{a}^{2}}{{x}^{2}}}{16}$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}=2{{a}^{2}}$ $\Leftrightarrow x=a\sqrt{2}$.
Vậy thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng: ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{2{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$ $=\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.$$
Đáp án B.