Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều, hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ trên mặt đáy là trung điểm $H$ của cạnh $AB$. Biết $SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ và mặt phẳng $\left( SAC \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( SBC \right)$. Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{16}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
D. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}$.
Gọi $K$ là chân đường cao hạ từ $H$ lên $SC$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot SH \\
& AB\bot HC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SHC \right)\Rightarrow AB\bot SC$.
Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\cap \left( SAC \right)=SC \\
& SC\bot \left( AKB \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( \widehat{\left( SAB \right),\left( SAC \right)} \right)=\widehat{AKB}=90{}^\circ $.
Đặt $AB=x$, khi đó $HC=\dfrac{x\sqrt{3}}{2}$ và $HK=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{x}{2}$
Trong tam giác $SHC$ vuông tại $H$, ta có
$HK=\dfrac{SH.HC}{\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}}}\Leftrightarrow \dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{x\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{x\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}}=\dfrac{x}{2}\Leftrightarrow \dfrac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow a\sqrt{3}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}\Leftrightarrow x=a\sqrt{2}$ Thể tích của khối chóp $S.ABC$ là $V=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABC}}.SH=\dfrac{1}{3}.{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}\dfrac{\sqrt{3}}{4}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{16}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
D. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot SH \\
& AB\bot HC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SHC \right)\Rightarrow AB\bot SC$.
Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\cap \left( SAC \right)=SC \\
& SC\bot \left( AKB \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( \widehat{\left( SAB \right),\left( SAC \right)} \right)=\widehat{AKB}=90{}^\circ $.
Đặt $AB=x$, khi đó $HC=\dfrac{x\sqrt{3}}{2}$ và $HK=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{x}{2}$
Trong tam giác $SHC$ vuông tại $H$, ta có
$HK=\dfrac{SH.HC}{\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}}}\Leftrightarrow \dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{x\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{x\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}}=\dfrac{x}{2}\Leftrightarrow \dfrac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow a\sqrt{3}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}\Leftrightarrow x=a\sqrt{2}$ Thể tích của khối chóp $S.ABC$ là $V=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABC}}.SH=\dfrac{1}{3}.{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}\dfrac{\sqrt{3}}{4}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
Đáp án A.