Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều, cạnh bên $SA=\dfrac{3a}{2}$ vuông góc với đáy $\left( ABC \right)$. Biết góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và $\left( ABC \right)$ bằng $60{}^\circ $. Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABC$.
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$.
B. $V=\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}$.
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$.
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Khi đó $AM\bot BC$, $SA\bot BC$. Suy ra $SM\bot BC$.
Do đó góc giữa hai mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và $\left( ABC \right)$ chính là góc $\widehat{SMA}$.
Ta có $SA=AM.\tan \widehat{SMA}\Rightarrow AM.\tan 60{}^\circ =\dfrac{3a}{2}$ $\Rightarrow AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Suy ra tam giác $ABC$ đều có cạnh bằng $a$.
Diện tích tam giác $ABC$ là ${{S}_{ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$.
Thể tích khối chóp là ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3a}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$ (đvtt).
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$.
B. $V=\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}$.
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$.
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Khi đó $AM\bot BC$, $SA\bot BC$. Suy ra $SM\bot BC$.
Do đó góc giữa hai mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và $\left( ABC \right)$ chính là góc $\widehat{SMA}$.
Ta có $SA=AM.\tan \widehat{SMA}\Rightarrow AM.\tan 60{}^\circ =\dfrac{3a}{2}$ $\Rightarrow AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Suy ra tam giác $ABC$ đều có cạnh bằng $a$.
Diện tích tam giác $ABC$ là ${{S}_{ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$.
Thể tích khối chóp là ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3a}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$ (đvtt).
Đáp án C.