Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh bằng $\sqrt{6}$. Biết rằng các mặt bên của hình chóp có diện tích bằng nhau và một trong các cạnh bên bằng $3\sqrt{2}$. Tính thể tích nhỏ nhất của khối chóp $S.ABC$.
A. $4$.
B. $3$.
C. $2\sqrt{2}$.
D. $2\sqrt{3}$.
A. $4$.
B. $3$.
C. $2\sqrt{2}$.
D. $2\sqrt{3}$.
Phương pháp:
Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp.
Cách giải:
Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$
$M,N,P$ lần lượt là hình chiếu của $H$ trên $AB,BC,CA$
Khi đó $SM,SN,SP$ lần lượt là đường cao của các mặt bên
Vì các mặt bên của hình chóp có diện tích bằng nhau nên $SM=SN=SP\Rightarrow HM=HN=HP$
Nên $H$ là đường tròn nội tiếp hoặc bang tiếp tam giác $ABC.$
+) TH1: $H$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$
Khi đó hình chóp $S.ABC$ là hình chóp đều có cạnh đáy bằng $\sqrt{6},$ cạnh bên bằng $3\sqrt{2}$
Ta có $SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 3\sqrt{2} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{2}{3}.\dfrac{\sqrt{6}.\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=4$
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là $V=\dfrac{1}{3}.SH.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.42.\dfrac{{{\left( \sqrt{6} \right)}^{2}}.\sqrt{3}}{4}=2\sqrt{3}$
+) TH2: $H$ là tâm đường tròn bàng tiếp tam giác $ABC$
Giả sử bàng tiếp góc $A$
Ta có $AH=\dfrac{2.\sqrt{6}.\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{2};BH=CH=\sqrt{6}$
Nếu $SA=3\sqrt{2}\Rightarrow SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=0\left( l \right)$
Nếu $SA=3\sqrt{2}\Rightarrow SB=SC=3\sqrt{2}\Rightarrow SH=\sqrt{S{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=2\sqrt{3}$
Thể tích khối chóp $SABC$ là $V=\dfrac{1}{3}.SH.{{S}_{ABC}}=3$
Vậy $\min {{V}_{SABC}}=3$
Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp.
Cách giải:
Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$
$M,N,P$ lần lượt là hình chiếu của $H$ trên $AB,BC,CA$
Khi đó $SM,SN,SP$ lần lượt là đường cao của các mặt bên
Vì các mặt bên của hình chóp có diện tích bằng nhau nên $SM=SN=SP\Rightarrow HM=HN=HP$
Nên $H$ là đường tròn nội tiếp hoặc bang tiếp tam giác $ABC.$
+) TH1: $H$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$
Khi đó hình chóp $S.ABC$ là hình chóp đều có cạnh đáy bằng $\sqrt{6},$ cạnh bên bằng $3\sqrt{2}$
Ta có $SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 3\sqrt{2} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{2}{3}.\dfrac{\sqrt{6}.\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=4$
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là $V=\dfrac{1}{3}.SH.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.42.\dfrac{{{\left( \sqrt{6} \right)}^{2}}.\sqrt{3}}{4}=2\sqrt{3}$
+) TH2: $H$ là tâm đường tròn bàng tiếp tam giác $ABC$
Giả sử bàng tiếp góc $A$
Ta có $AH=\dfrac{2.\sqrt{6}.\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{2};BH=CH=\sqrt{6}$
Nếu $SA=3\sqrt{2}\Rightarrow SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=0\left( l \right)$
Nếu $SA=3\sqrt{2}\Rightarrow SB=SC=3\sqrt{2}\Rightarrow SH=\sqrt{S{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=2\sqrt{3}$
Thể tích khối chóp $SABC$ là $V=\dfrac{1}{3}.SH.{{S}_{ABC}}=3$
Vậy $\min {{V}_{SABC}}=3$
Đáp án B.