Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 2a. Gọi M là trung điểm $SA,\widehat{SAB}=\widehat{SCB}={{90}^{o}},$ biết khoảng cách từ A đến (MBC) bằng $\dfrac{6a}{\sqrt{21}}.$ Thể tích khối chóp S.ABC bằng
A. $\dfrac{10{{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}.$
B. $\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{39}}{3}.$
C. $\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{13}}{3}.$
D. $2{{a}^{3}}\sqrt{3}.$
Vì $\widehat{SAB}=\widehat{SCB}={{90}^{o}}\Rightarrow S,A,B,C$ cùng thuộc mặt cầu đường kính SB.
Gọi D là trung điểm BC, I là trung điểm SB và O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC, ta có $OI\bot \left( ABC \right).$
Gọi H là điểm đối xứng với B qua $O\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right)$ (vì OI là đường trung bình SHB).
Gọi $BM\cap AI=J,$ ta có J là trọng tâm SAB.
Trong AID, kẻ $JN//IO.$ Khi đó ,vì $BC\bot \left( JND \right)$ nên $\left( JND \right)\bot \left( MBC \right).$
Kẻ $NE\bot JD,$ ta có $NE\bot \left( MBC \right).$ Do đó $d\left( N,\left( MBC \right) \right)=NE.$
Ta có $\dfrac{d\left( A,\left( MBC \right) \right)}{d\left( N,\left( MBC \right) \right)}=\dfrac{AD}{ND}=\dfrac{AD}{AD-AN}=\dfrac{AD}{AD-\dfrac{2}{3}AO}=\dfrac{AD}{AD-\dfrac{4}{9}AD}=\dfrac{9}{5}.$
Suy ra $d\left( N,\left( MBC \right) \right)=\dfrac{5}{9}d\left( A,\left( MBC \right) \right)=\dfrac{10a}{3\sqrt{21}}.$
Xét JND có $\dfrac{1}{N{{E}^{2}}}=\dfrac{1}{N{{D}^{2}}}+\dfrac{1}{N{{J}^{2}}}$ nên $NJ=\dfrac{10a}{9}\Rightarrow OI=\dfrac{3}{2}NJ=\dfrac{5a}{3}\Rightarrow SH=\dfrac{10a}{3}.$
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{10a}{3}.\dfrac{{{\left( 2a \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{10\sqrt{3}{{a}^{2}}}{9}.$
A. $\dfrac{10{{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}.$
B. $\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{39}}{3}.$
C. $\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{13}}{3}.$
D. $2{{a}^{3}}\sqrt{3}.$
Vì $\widehat{SAB}=\widehat{SCB}={{90}^{o}}\Rightarrow S,A,B,C$ cùng thuộc mặt cầu đường kính SB.
Gọi D là trung điểm BC, I là trung điểm SB và O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC, ta có $OI\bot \left( ABC \right).$
Gọi H là điểm đối xứng với B qua $O\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right)$ (vì OI là đường trung bình SHB).
Gọi $BM\cap AI=J,$ ta có J là trọng tâm SAB.
Trong AID, kẻ $JN//IO.$ Khi đó ,vì $BC\bot \left( JND \right)$ nên $\left( JND \right)\bot \left( MBC \right).$
Kẻ $NE\bot JD,$ ta có $NE\bot \left( MBC \right).$ Do đó $d\left( N,\left( MBC \right) \right)=NE.$
Ta có $\dfrac{d\left( A,\left( MBC \right) \right)}{d\left( N,\left( MBC \right) \right)}=\dfrac{AD}{ND}=\dfrac{AD}{AD-AN}=\dfrac{AD}{AD-\dfrac{2}{3}AO}=\dfrac{AD}{AD-\dfrac{4}{9}AD}=\dfrac{9}{5}.$
Suy ra $d\left( N,\left( MBC \right) \right)=\dfrac{5}{9}d\left( A,\left( MBC \right) \right)=\dfrac{10a}{3\sqrt{21}}.$
Xét JND có $\dfrac{1}{N{{E}^{2}}}=\dfrac{1}{N{{D}^{2}}}+\dfrac{1}{N{{J}^{2}}}$ nên $NJ=\dfrac{10a}{9}\Rightarrow OI=\dfrac{3}{2}NJ=\dfrac{5a}{3}\Rightarrow SH=\dfrac{10a}{3}.$
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{10a}{3}.\dfrac{{{\left( 2a \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{10\sqrt{3}{{a}^{2}}}{9}.$
Đáp án A.