Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1. Biết...

The Knowledge · 13/1/22

Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1. Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là

\frac{\sqrt{6}}{4}

, từ B đến mặt phẳng (SAC) là

\frac{\sqrt{15}}{10}

, từ C đến mặt phẳng (SAB) là

\frac{\sqrt{30}}{20}

và hình chiếu vuông góc của S xuống đáy nằm trong tam giác ABC. Thể tích khối chóp S.ABC bằng
A.

\frac{1}{36}

B.

\frac{1}{48}

C.

\frac{1}{12}

D.

\frac{1}{24}

Gọi H là chân đường cao hạ từ S xuống đáy (ABC)
Gọi E, F, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên các cạnh BC, AB, và AC thì

{\begin{aligned} B C ⊥ S H \\ B C ⊥ H E \end{aligned} \Rightarrow B C ⊥ S E

Ta có:

V = V_{S . A B C} = \frac{1}{3} d (A; (S B C)) . S_{S B C} = \frac{1}{3} . \frac{\sqrt{6}}{4} . \frac{1}{2} S E . B C

\Leftrightarrow V = \frac{\sqrt{6}}{24} S E

, tương tự ta có:

V = \frac{\sqrt{15}}{60} S F = \frac{\sqrt{30}}{120} S K

Đặt

S H = x \Rightarrow V = \frac{1}{3} x . S_{A B C} = \frac{\sqrt{3}}{12} x

y = 1 \Rightarrow x^{3} - 3 x^{2} + 4 = 1

Lại có:

S_{A B C} = S_{H B C} + S_{H C A} + S_{H A B} = \frac{1}{2} (H E + H K + H F) = \frac{\sqrt{3}}{4} \Leftrightarrow 3 x = \frac{\sqrt{3}}{4} \Leftrightarrow x = \frac{\sqrt{3}}{12} \Rightarrow V = \frac{1}{48}

.

Đáp án B.