Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1. Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là $\dfrac{\sqrt{6}}{4}$, từ B đến mặt phẳng (SAC) là $\dfrac{\sqrt{15}}{10}$, từ C đến mặt phẳng (SAB) là $\dfrac{\sqrt{30}}{20}$ và hình chiếu vuông góc của S xuống đáy nằm trong tam giác ABC. Thể tích khối chóp S.ABC bằng
A. $\dfrac{1}{36}$
B. $\dfrac{1}{48}$
C. $\dfrac{1}{12}$
D. $\dfrac{1}{24}$
A. $\dfrac{1}{36}$
B. $\dfrac{1}{48}$
C. $\dfrac{1}{12}$
D. $\dfrac{1}{24}$
Gọi H là chân đường cao hạ từ S xuống đáy (ABC)
Gọi E, F, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên các cạnh BC, AB, và AC thì $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot SH \\
& BC\bot HE \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot SE$
Ta có: $V=V{_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}d\left( A;\left( SBC \right) \right).{{S}_{SBC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{\sqrt{6}}{4}.\dfrac{1}{2}SE.BC$
$\Leftrightarrow V=\dfrac{\sqrt{6}}{24}SE$, tương tự ta có: $V=\dfrac{\sqrt{15}}{60}SF=\dfrac{\sqrt{30}}{120}SK$
Đặt $SH=x\Rightarrow V=\dfrac{1}{3}x.{{S}_{ABC}}=\dfrac{\sqrt{3}}{12}x$
$y=1\Rightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4=1$
Lại có: ${{S}_{ABC}}={{S}_{HBC}}+{{S}_{HCA}}+{{S}_{HAB}}=\dfrac{1}{2}\left( HE+HK+HF \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\Leftrightarrow 3x=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\Leftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{3}}{12}\Rightarrow V=\dfrac{1}{48}$.
Gọi E, F, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên các cạnh BC, AB, và AC thì $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot SH \\
& BC\bot HE \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot SE$
Ta có: $V=V{_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}d\left( A;\left( SBC \right) \right).{{S}_{SBC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{\sqrt{6}}{4}.\dfrac{1}{2}SE.BC$
$\Leftrightarrow V=\dfrac{\sqrt{6}}{24}SE$, tương tự ta có: $V=\dfrac{\sqrt{15}}{60}SF=\dfrac{\sqrt{30}}{120}SK$
Đặt $SH=x\Rightarrow V=\dfrac{1}{3}x.{{S}_{ABC}}=\dfrac{\sqrt{3}}{12}x$
$y=1\Rightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4=1$
Lại có: ${{S}_{ABC}}={{S}_{HBC}}+{{S}_{HCA}}+{{S}_{HAB}}=\dfrac{1}{2}\left( HE+HK+HF \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\Leftrightarrow 3x=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\Leftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{3}}{12}\Rightarrow V=\dfrac{1}{48}$.
Đáp án B.