Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a.$ Tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Côsin của góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( SAB \right)$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
B. $\dfrac{1}{2}.$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$
D. $\dfrac{2}{3}.$
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
B. $\dfrac{1}{2}.$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$
D. $\dfrac{2}{3}.$
Kẻ $SH\bot AB\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right).$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& CH\bot AB \\
& CH\bot SH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CH\bot \left( SAB \right)$
$\Rightarrow \left( \widehat{CS;\left( SAB \right)} \right)=\widehat{CSH}\Rightarrow \cos \left( \widehat{CS;\left( SAB \right)} \right)=\cos \widehat{CSH}=\dfrac{SH}{SC}.$
Cạnh $SH=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{a}{2}$ và $HC=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
$\Rightarrow SC=\sqrt{S{{H}^{2}}+C{{H}^{2}}}=a\Rightarrow \dfrac{SH}{SC}=\dfrac{1}{2}.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& CH\bot AB \\
& CH\bot SH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CH\bot \left( SAB \right)$
$\Rightarrow \left( \widehat{CS;\left( SAB \right)} \right)=\widehat{CSH}\Rightarrow \cos \left( \widehat{CS;\left( SAB \right)} \right)=\cos \widehat{CSH}=\dfrac{SH}{SC}.$
Cạnh $SH=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{a}{2}$ và $HC=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
$\Rightarrow SC=\sqrt{S{{H}^{2}}+C{{H}^{2}}}=a\Rightarrow \dfrac{SH}{SC}=\dfrac{1}{2}.$
Đáp án B.