Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và $SA=2a$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $SAB$. Khoảng cách từ $G$ đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$ bằng
A. $\dfrac{a\sqrt{57}}{57}$.
B. $\dfrac{3a\sqrt{57}}{19}$.
C. $\dfrac{2a\sqrt{57}}{19}$.
D. $\dfrac{2a\sqrt{57}}{57}$.
Gọi $M$ là trung điểm $BC$.
$\Delta ABC$ đều $\Rightarrow AM\bot BC$. Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AM\bot BC \\
& SA\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAM \right)$.
Trong mặt phẳng $\left( SAM \right)$ hạ $AH\bot SM$ $\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)$.
Suy ra $d\left( A,SBC \right)=AH$.
$\vartriangle SAM$ vuông tại $A$ có $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}$ $\Rightarrow AH=\dfrac{SA.AH}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{H}^{2}}}}$
$=\dfrac{2a.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}}=\dfrac{2a\sqrt{57}}{19}$.
Ta có $G$ là trọng tâm $\vartriangle SAB$ $\Rightarrow d\left( G,SBC \right)=\dfrac{1}{3}d\left( A,SBC \right)=\dfrac{2a\sqrt{57}}{57}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{57}}{57}$.
B. $\dfrac{3a\sqrt{57}}{19}$.
C. $\dfrac{2a\sqrt{57}}{19}$.
D. $\dfrac{2a\sqrt{57}}{57}$.
$\Delta ABC$ đều $\Rightarrow AM\bot BC$. Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AM\bot BC \\
& SA\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAM \right)$.
Trong mặt phẳng $\left( SAM \right)$ hạ $AH\bot SM$ $\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)$.
Suy ra $d\left( A,SBC \right)=AH$.
$\vartriangle SAM$ vuông tại $A$ có $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}$ $\Rightarrow AH=\dfrac{SA.AH}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{H}^{2}}}}$
$=\dfrac{2a.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}}=\dfrac{2a\sqrt{57}}{19}$.
Ta có $G$ là trọng tâm $\vartriangle SAB$ $\Rightarrow d\left( G,SBC \right)=\dfrac{1}{3}d\left( A,SBC \right)=\dfrac{2a\sqrt{57}}{57}$.
Đáp án D.