Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, khoảng cách từ điểm A đến (SBC) là $\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$, khoảng cách giữa SA, BC là $\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$. Biết hình chiếu của S lên (ABC) nằm trong tam giác ABC. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$
+ Dựng hình bình hành ABCD
Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC); E là hình chiết của H lên AD; K là hình chiếu của H lên BC; P là hình chiếu của K lên SE; Q là hình chiếu của E lên SK.
Ta có $d\left( A,\left( SBC \right) \right)=EQ=\dfrac{a\sqrt{15}}{5};d\left( SA,BC \right)=d\left( BC,\left( SAD \right) \right)=d\left( K,\left( SAD \right) \right)=KP=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$
$\Rightarrow KP=EQ=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}\Rightarrow \Delta SEK$ cân tại S $\Rightarrow H$ là trung điểm của EK.
+ Gọi M là trung điểm của BC $\Rightarrow EK=AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
+ Ta được $QK=\sqrt{E{{K}^{2}}-E{{Q}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{15}}{10}$
$\Delta SHK$ và $\Delta EQK$ đồng dạng $\Rightarrow \dfrac{SH}{EQ}=\dfrac{HK}{QK}\Rightarrow SH=\dfrac{EQ.HK}{QK}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{15}}{5}.\dfrac{a\sqrt{3}}{4}}{\dfrac{a\sqrt{15}}{10}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}.SH=\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$
+ Dựng hình bình hành ABCD
Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC); E là hình chiết của H lên AD; K là hình chiếu của H lên BC; P là hình chiếu của K lên SE; Q là hình chiếu của E lên SK.
Ta có $d\left( A,\left( SBC \right) \right)=EQ=\dfrac{a\sqrt{15}}{5};d\left( SA,BC \right)=d\left( BC,\left( SAD \right) \right)=d\left( K,\left( SAD \right) \right)=KP=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$
$\Rightarrow KP=EQ=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}\Rightarrow \Delta SEK$ cân tại S $\Rightarrow H$ là trung điểm của EK.
+ Gọi M là trung điểm của BC $\Rightarrow EK=AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
+ Ta được $QK=\sqrt{E{{K}^{2}}-E{{Q}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{15}}{10}$
$\Delta SHK$ và $\Delta EQK$ đồng dạng $\Rightarrow \dfrac{SH}{EQ}=\dfrac{HK}{QK}\Rightarrow SH=\dfrac{EQ.HK}{QK}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{15}}{5}.\dfrac{a\sqrt{3}}{4}}{\dfrac{a\sqrt{15}}{10}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}.SH=\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$
Đáp án C.