Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, khoảng cách từ điểm A đến $\left( SBC \right)$ là $\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$, khoảng cách giữa SA, BC là $\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$. Biết hình chiếu của S lên $\left( ABC \right)$ nằm trong tam giác ABC. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$
Dựng hình bình hành ABCD.
Gọi H là hình chiếu của S lên $\left( ABC \right)$ ; E là hình chiếu của H lên AD; K là hình chiếu của H lên BC; P là hình chiếu của K lên SE; Q là hình chiếu của E lên SK.
Ta có: $d\left( A,(SBC) \right)=EQ=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$ ;
$\text{d}\left( SA,BC \right)=d\left( BC,(SA\text{D}) \right)=d\left( K,(SA\text{D}) \right)=KP=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$.
$\Rightarrow KP=EQ=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}\Rightarrow \Delta SEK$ cân tại $S\Rightarrow H$ là trung điểm của EK.
Gọi M là trung điểm của $BC\Rightarrow EK=AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Ta có $QK=\sqrt{E{{K}^{2}}-E{{Q}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{15}}{10}$.
$\Delta SHK$ và $\Delta EQK$ đồng dạng $\Rightarrow \dfrac{SH}{EQ}=\dfrac{HK}{QK}\Rightarrow SH=\dfrac{EQ.HK}{QK}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{15}}{5}.\dfrac{a\sqrt{3}}{4}}{\dfrac{a\sqrt{15}}{10}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}.SH=\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$
Dựng hình bình hành ABCD.
Gọi H là hình chiếu của S lên $\left( ABC \right)$ ; E là hình chiếu của H lên AD; K là hình chiếu của H lên BC; P là hình chiếu của K lên SE; Q là hình chiếu của E lên SK.
Ta có: $d\left( A,(SBC) \right)=EQ=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$ ;
$\text{d}\left( SA,BC \right)=d\left( BC,(SA\text{D}) \right)=d\left( K,(SA\text{D}) \right)=KP=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$.
$\Rightarrow KP=EQ=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}\Rightarrow \Delta SEK$ cân tại $S\Rightarrow H$ là trung điểm của EK.
Gọi M là trung điểm của $BC\Rightarrow EK=AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Ta có $QK=\sqrt{E{{K}^{2}}-E{{Q}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{15}}{10}$.
$\Delta SHK$ và $\Delta EQK$ đồng dạng $\Rightarrow \dfrac{SH}{EQ}=\dfrac{HK}{QK}\Rightarrow SH=\dfrac{EQ.HK}{QK}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{15}}{5}.\dfrac{a\sqrt{3}}{4}}{\dfrac{a\sqrt{15}}{10}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}.SH=\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$.
Đáp án C.