Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a,$ cạnh...

Cách giải:

Gọi $M$ là trung điểm $BC,$ trong $\left( SAM \right)$ kẻ $AH\bot SM\left( H\in SM \right)$ ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AM \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAM \right)\Rightarrow BC\bot AH$
$\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot BC\left( cmt \right) \\
& AH\bot SM \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)$
$\Rightarrow SH$ là hình chiếu vuông góc của $SA$ lên $\left( SBC \right)$
$\Rightarrow \angle \left( SA;\left( SBC \right) \right)=\angle \left( SA;SH \right)\Leftrightarrow ASH=\angle ASM={{45}^{0}}\Rightarrow \Delta SAM$ vuông cân tại $A.$
Vì $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên $AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow SA=AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ và ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.$
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}}{8}.$