Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $3a,$ tam giác $SBC$ vuông tại $S$ và mặt phẳng $\left( SBC \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ bằng
A. $12\pi {{a}^{2}}$
B. $36\pi {{a}^{2}}$
C. $18\pi {{a}^{2}}$
D. $12\pi {{a}^{2}}$
A. $12\pi {{a}^{2}}$
B. $36\pi {{a}^{2}}$
C. $18\pi {{a}^{2}}$
D. $12\pi {{a}^{2}}$
Phương pháp:
- Sử dụng công thức tính nhanh: Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy là $R=\sqrt{R_{ben}^{2}+R_{day}^{2}-\dfrac{g{{t}^{2}}}{4}}$ trong đó ${{R}_{ben}}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên vuông góc với đáy, ${{R}_{day}}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy, $gt$ là độ dài giao tuyến của mặt bên vuông góc với đáy và mặt đáy.
- Diện tích mặt cầu bán kính $R$ là $S=4\pi {{R}^{2}}.$
Cách giải:
Mặt bên $\left( SBC \right)$ vuông góc với đáy là tam giác vuông tại $S$ nên có bán kính đường tròn ngoại tiếp ${{R}_{ben}}=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{3a}{2}.$
Ta có $\left( SBC \right)\cap \left( ABC \right)=BC=3a=gt$.
Đáy $ABC$ là tam giác đều nên bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy là ${{R}_{day}}=\dfrac{\left( 3a \right)\sqrt{3}}{3}=a\sqrt{3}.$
$\Rightarrow $ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là:
$R=\sqrt{R_{ben}^{2}+R_{day}^{2}-\dfrac{g{{t}^{2}}}{4}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{3a}{2} \right)}^{2}}+{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}-\dfrac{{{\left( 3a \right)}^{2}}}{4}}=a\sqrt{3}$
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABC$ là $S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi {{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}=12\pi {{a}^{2}}.$
- Sử dụng công thức tính nhanh: Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy là $R=\sqrt{R_{ben}^{2}+R_{day}^{2}-\dfrac{g{{t}^{2}}}{4}}$ trong đó ${{R}_{ben}}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên vuông góc với đáy, ${{R}_{day}}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy, $gt$ là độ dài giao tuyến của mặt bên vuông góc với đáy và mặt đáy.
- Diện tích mặt cầu bán kính $R$ là $S=4\pi {{R}^{2}}.$
Cách giải:
Mặt bên $\left( SBC \right)$ vuông góc với đáy là tam giác vuông tại $S$ nên có bán kính đường tròn ngoại tiếp ${{R}_{ben}}=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{3a}{2}.$
Ta có $\left( SBC \right)\cap \left( ABC \right)=BC=3a=gt$.
Đáy $ABC$ là tam giác đều nên bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy là ${{R}_{day}}=\dfrac{\left( 3a \right)\sqrt{3}}{3}=a\sqrt{3}.$
$\Rightarrow $ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là:
$R=\sqrt{R_{ben}^{2}+R_{day}^{2}-\dfrac{g{{t}^{2}}}{4}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{3a}{2} \right)}^{2}}+{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}-\dfrac{{{\left( 3a \right)}^{2}}}{4}}=a\sqrt{3}$
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABC$ là $S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi {{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}=12\pi {{a}^{2}}.$
Đáp án A.