Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 1. Mặt bên $\left( SAC \right)$ là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, $SA=SC=\dfrac{3}{2}$. Gọi D là điểm đối xứng với B qua C. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD.
A. $\dfrac{3\sqrt{34}}{8}$.
B. $\dfrac{3\sqrt{34}}{4}$.
C. $\dfrac{\sqrt{34}}{8}$.
D. $\dfrac{3\sqrt{34}}{16}$.
Gọi H là trung điểm AC, theo giả thiết ta có $SH\bot \left( ABC \right)$.
Có $CA=CB=CD=1$ nên tam giác ABD vuông tại A.
Gọi là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( ABD \right)$ tại C $\left( \Delta //SH \right)$.
Gọi F là trung điểm cạnh SA, trong mặt phẳng $\left( SAC \right)$, đường trung trực của SA cắt tại I, khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD.
Bán kính mặt cầu là $R=IA$.
Gọi $K=FI\cap AC$. Ta có $\Delta FAK\#\Delta HAS$ nên có $\dfrac{AK}{AS}=\dfrac{FA}{HA}\Rightarrow AK=\dfrac{AS.FA}{HA}=\dfrac{\dfrac{3}{2}.\dfrac{3}{4}}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{9}{4}$.
Trong tam giác vuông FKA có $KF=\sqrt{A{{K}^{2}}-A{{F}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{81}{16}-\dfrac{9}{16}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
Cũng có $CK=\dfrac{5}{4}$. Mặt khác $\dfrac{CK}{IK}=\dfrac{FK}{AK}\Rightarrow IK=\dfrac{CK.AK}{FK}=\dfrac{15\sqrt{2}}{16}$.
Từ đó $FI=FK-IK=\dfrac{9\sqrt{2}}{16}$.
Vậy bán kính mặt cầu $R=IA=\sqrt{I{{F}^{2}}+F{{A}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{81}{128}+\dfrac{9}{16}}=\dfrac{3\sqrt{34}}{16}$.
Cách 2 (Tọa độ hóa).
Chọn $H\left( 0;0;0 \right),C\left( \dfrac{1}{2};0;0 \right),B\left( 0;\dfrac{\sqrt{3}}{2};0 \right),S\left( 0;0;\sqrt{2} \right)$
$\Rightarrow A=\left( -\dfrac{1}{2};0;0 \right),D=\left( 1;-\dfrac{\sqrt{3}}{2};0 \right)$.
Giả sử mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có phương trình dạng:
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2ax+2by+2cz+d=0$.
Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& 2\sqrt{2}c+d=2 \\
& -a+d=-\dfrac{1}{4} \\
& \sqrt{3}b+d=-\dfrac{3}{4} \\
& 2a-\sqrt{3}b+d=-\dfrac{7}{4} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-\dfrac{1}{2} \\
& b=0 \\
& c=-\dfrac{5\sqrt{2}}{16} \\
& d=-\dfrac{3}{4} \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là $R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d}=\dfrac{3\sqrt{34}}{16}$.
A. $\dfrac{3\sqrt{34}}{8}$.
B. $\dfrac{3\sqrt{34}}{4}$.
C. $\dfrac{\sqrt{34}}{8}$.
D. $\dfrac{3\sqrt{34}}{16}$.
Có $CA=CB=CD=1$ nên tam giác ABD vuông tại A.
Gọi là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( ABD \right)$ tại C $\left( \Delta //SH \right)$.
Gọi F là trung điểm cạnh SA, trong mặt phẳng $\left( SAC \right)$, đường trung trực của SA cắt tại I, khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD.
Bán kính mặt cầu là $R=IA$.
Trong tam giác vuông FKA có $KF=\sqrt{A{{K}^{2}}-A{{F}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{81}{16}-\dfrac{9}{16}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
Cũng có $CK=\dfrac{5}{4}$. Mặt khác $\dfrac{CK}{IK}=\dfrac{FK}{AK}\Rightarrow IK=\dfrac{CK.AK}{FK}=\dfrac{15\sqrt{2}}{16}$.
Từ đó $FI=FK-IK=\dfrac{9\sqrt{2}}{16}$.
Vậy bán kính mặt cầu $R=IA=\sqrt{I{{F}^{2}}+F{{A}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{81}{128}+\dfrac{9}{16}}=\dfrac{3\sqrt{34}}{16}$.
Cách 2 (Tọa độ hóa).
$\Rightarrow A=\left( -\dfrac{1}{2};0;0 \right),D=\left( 1;-\dfrac{\sqrt{3}}{2};0 \right)$.
Giả sử mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có phương trình dạng:
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2ax+2by+2cz+d=0$.
Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& 2\sqrt{2}c+d=2 \\
& -a+d=-\dfrac{1}{4} \\
& \sqrt{3}b+d=-\dfrac{3}{4} \\
& 2a-\sqrt{3}b+d=-\dfrac{7}{4} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-\dfrac{1}{2} \\
& b=0 \\
& c=-\dfrac{5\sqrt{2}}{16} \\
& d=-\dfrac{3}{4} \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là $R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d}=\dfrac{3\sqrt{34}}{16}$.
Đáp án D.