Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy $A B C$ có $AB=a, AC=2a...

The Professor · 23/12/21

Câu hỏi: Cho hình chóp

S . A B C

có đáy

A B C

có

A B = a, A C = 2 a, \hat{B A C} = 120^{\circ}

, cạnh bên

S A

vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng

(S B C)

và mặt phẳng

(A B C)

bằng

45^{\circ}

(tham khảo hình bên). Thể tích khối chóp

S . A B C

bằng

A.

\frac{a^{3} \sqrt{7}}{14}

.
B.

\frac{a^{3} \sqrt{7}}{7}

.
C.

\frac{\sqrt{3} a^{3}}{12}

.
D.

\frac{a^{3}}{7}

.

Do

S A ⊥ (A B C) \Rightarrow S A ⊥ B C

Kẻ

A H ⊥ B C

tại

H

thì

B C ⊥ (S A H) \Rightarrow B C ⊥ S H

. Suy ra góc giữa mặt phẳng

(S B C)

và mặt phẳng

(A B C)

bằng

\hat{A H S} = 45^{\circ}

.
Ta có

S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A B . A C \sin \hat{A} = \frac{1}{2} a .2 a . \sin 120^{\circ} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}

.

B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2} - 2 A B . A C \cos A} = \sqrt{a^{2} + {(2 a)}^{2} - 2. a .2 a \cos 120^{\circ}} = a \sqrt{7}

Và

A H . B C = 2 S_{A B C} \Rightarrow A H = \frac{2 S_{A B C}}{B C} = \frac{a \sqrt{21}}{7}

.

S H = A H \tan \hat{A H S} = \frac{a \sqrt{21}}{7} \tan 45^{\circ} = \frac{a \sqrt{21}}{7}

Suy ra

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a \sqrt{21}}{7} \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{7}}{14} .

Đáp án A.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC có $AB=a, AC=2a...