Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ có $AB=a, AC=2a, \widehat{BAC}=120{}^\circ $, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $45{}^\circ $ (tham khảo hình bên). Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{7}}{14}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{7}}{7}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{12}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{7}$.
Do $SA\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SA\bot BC$
Kẻ $AH\bot BC$ tại $H$ thì $BC\bot \left( SAH \right)\Rightarrow BC\bot SH$. Suy ra góc giữa mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $\widehat{AHS}=45{}^\circ $.
Ta có ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.AC\sin \widehat{A}=\dfrac{1}{2}a.2a.\sin 120{}^\circ =\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$.
$BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AB.AC\cos A}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( 2a \right)}^{2}}-2.a.2a\cos 120{}^\circ }=a\sqrt{7}$
Và $AH.BC=2{{S}_{ABC}}\Rightarrow AH=\dfrac{2{{S}_{ABC}}}{BC}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
$SH=AH\tan \widehat{AHS}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}\tan 45{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$
Suy ra ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{a\sqrt{21}}{7}\cdot \dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{7}}{14}.$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{7}}{14}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{7}}{7}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{12}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{7}$.
Do $SA\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SA\bot BC$
Kẻ $AH\bot BC$ tại $H$ thì $BC\bot \left( SAH \right)\Rightarrow BC\bot SH$. Suy ra góc giữa mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $\widehat{AHS}=45{}^\circ $.
Ta có ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.AC\sin \widehat{A}=\dfrac{1}{2}a.2a.\sin 120{}^\circ =\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$.
$BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AB.AC\cos A}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( 2a \right)}^{2}}-2.a.2a\cos 120{}^\circ }=a\sqrt{7}$
Và $AH.BC=2{{S}_{ABC}}\Rightarrow AH=\dfrac{2{{S}_{ABC}}}{BC}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
$SH=AH\tan \widehat{AHS}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}\tan 45{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$
Suy ra ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{a\sqrt{21}}{7}\cdot \dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{7}}{14}.$
Đáp án A.