Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có chiều cao bằng $6$ và diện tích đáy bằng $27$.Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trọng tâm của các mặt bên $SAB$, $SAC$ và $SBC$.Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm $A$, $B$, $C$, $M$, $N$, $P$ bằng
A. $36$.
B. $24$.
C. $16$.
D. $32$.
Ta có ${{V}_{MNP.ACB}}={{V}_{S.ABC}}-{{V}_{S.MNA}}-{{V}_{S.NPC}}-{{V}_{S.MPB}}-{{V}_{S.MNP}}$.
Gọi $D$, $E$, $F$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $BC$, $CA$.
Theo bài ra $M$, $N$, $P$ lần lượt là trọng tâm của các mặt bên $SAB$, $SAC$ và $SBC$ nên $\dfrac{SM}{SD}=\dfrac{SN}{SF}=\dfrac{SP}{SE}=\dfrac{2}{3}$.
Áp dụng công thức tỉ số thể tích cho các khối tứ diện ta thu được
$\dfrac{{{V}_{S.MNA}}}{{{V}_{S.DFA}}}=\dfrac{SM.SN}{SD.SF}=\dfrac{4}{9}$, $\dfrac{{{V}_{S.NPC}}}{{{V}_{S.EFC}}}=\dfrac{SN.SP}{SF.SE}=\dfrac{4}{9}$, $\dfrac{{{V}_{S.MPB}}}{{{V}_{S.DEB}}}=\dfrac{SM.SP}{SD.SE}=\dfrac{4}{9}$, $\dfrac{{{V}_{S.MNP}}}{{{V}_{S.DEF}}}=\dfrac{SM.SP.SN}{SD.SE.SF}=\dfrac{8}{27}$.
Vì ${{S}_{ADF}}={{S}_{BDE}}={{S}_{CEF}}={{S}_{DEF}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{ABC}}$ nên ${{V}_{S.ADF}}={{V}_{S.BDE}}={{V}_{S.CEF}}={{V}_{S.DEF}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{S.ABC}}$.
Khi đó ${{V}_{S.MNA}}+{{V}_{S.NPC}}+{{V}_{S.MPB}}+{{V}_{S.MNP}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{S.ABC}}\left( \dfrac{4}{9}+\dfrac{4}{9}+\dfrac{4}{9}+\dfrac{8}{27} \right)=\dfrac{11}{27}{{V}_{S.ABC}}$.
Do đó ${{V}_{MNP.ACB}}={{V}_{S.ABC}}-\dfrac{11}{27}{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{16}{27}{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{16}{27}.\dfrac{1}{3}.6.27=32$.
A. $36$.
B. $24$.
C. $16$.
D. $32$.
Ta có ${{V}_{MNP.ACB}}={{V}_{S.ABC}}-{{V}_{S.MNA}}-{{V}_{S.NPC}}-{{V}_{S.MPB}}-{{V}_{S.MNP}}$.
Gọi $D$, $E$, $F$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $BC$, $CA$.
Theo bài ra $M$, $N$, $P$ lần lượt là trọng tâm của các mặt bên $SAB$, $SAC$ và $SBC$ nên $\dfrac{SM}{SD}=\dfrac{SN}{SF}=\dfrac{SP}{SE}=\dfrac{2}{3}$.
Áp dụng công thức tỉ số thể tích cho các khối tứ diện ta thu được
$\dfrac{{{V}_{S.MNA}}}{{{V}_{S.DFA}}}=\dfrac{SM.SN}{SD.SF}=\dfrac{4}{9}$, $\dfrac{{{V}_{S.NPC}}}{{{V}_{S.EFC}}}=\dfrac{SN.SP}{SF.SE}=\dfrac{4}{9}$, $\dfrac{{{V}_{S.MPB}}}{{{V}_{S.DEB}}}=\dfrac{SM.SP}{SD.SE}=\dfrac{4}{9}$, $\dfrac{{{V}_{S.MNP}}}{{{V}_{S.DEF}}}=\dfrac{SM.SP.SN}{SD.SE.SF}=\dfrac{8}{27}$.
Vì ${{S}_{ADF}}={{S}_{BDE}}={{S}_{CEF}}={{S}_{DEF}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{ABC}}$ nên ${{V}_{S.ADF}}={{V}_{S.BDE}}={{V}_{S.CEF}}={{V}_{S.DEF}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{S.ABC}}$.
Khi đó ${{V}_{S.MNA}}+{{V}_{S.NPC}}+{{V}_{S.MPB}}+{{V}_{S.MNP}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{S.ABC}}\left( \dfrac{4}{9}+\dfrac{4}{9}+\dfrac{4}{9}+\dfrac{8}{27} \right)=\dfrac{11}{27}{{V}_{S.ABC}}$.
Do đó ${{V}_{MNP.ACB}}={{V}_{S.ABC}}-\dfrac{11}{27}{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{16}{27}{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{16}{27}.\dfrac{1}{3}.6.27=32$.
Đáp án D.